El diagrama de bifurcación de la ecuación logística es uno de los grandes iconos de la teoría matemática del caos, y, por extensión, de las matemáticas de las últimas décadas. Y, además, no es en absoluto difícil calcularlo: una vez más, un pequeño programa escrito en BASIC para el venerable MSX es más que suficiente.
En una entrada anterior, ya se empleó MSX BASIC para describir algunos de los aspectos más característicos de la ecuación logística. En una segunda entrada, se analizaron algunos de los elementos más destacados del curioso comportamiento de esta ecuación, aplicando para ello el Teorema de Sarkovskii.
Entrando en la materia de esta tercera entrada, el cálculo de un diagrama de bifurcación como el que se muestra arriba es, como se ha dicho, muy sencillo. Existen varios procedimientos para ello: el que se ha aplicado en este caso, desarrollado en el código que se puede leer en la imagen, consiste básicamente en ir tomando valores crecientes del parámetro μ de la ecuación logística mediante un bucle. A continuación, para cada uno de esos valores del parámetro, se itera la ecuación logística un cierto número de veces partiendo de un valor inicial cualquiera (por ejemplo, en el programa se usa S = 1/2 como valor inicial – hay una razón de fondo que aconseja usar precisamente este valor, véase por ejemplo el Teorema 10.1 del libro de Richard A. Holmgren A first course in discrete dynamical systems, pero lo cierto es que visualmente el diagrama quedará bastante bien con casi cualquier valor inicial de S ), con el objetivo de que esta se aproxime o se estabilice en un punto fijo o una órbita periódica; 100 – 200 iteraciones suelen ser suficientes para este propósito. Por último, se itera la ecuación otras 10 – 50 veces, y se representan los puntos resultantes en un diagrama. A continuación se incrementa el valor de μ y se vuelve a empezar.
El diagrama resultante es, desde luego, aproximado: para empezar, al haber realizado un número finito de iteraciones, no se llega a alcanzar estrictamente ni el valor del punto fijo o de la posible órbita final; y, además, como en el diagrama en sí solo se representa un pequeño número de iteraciones (en el código propuesto, 20), que parten de un determinado valor inicial de S, en la representación no se incluyen en modo alguno todas las órbitas periódicas que existen para un determinado valor de μ. Pero el resultado es suficientemente bueno con fines ilustrativos y para producir una figura que dé una buena idea visual del comportamiento de la ecuación. De hecho, un diagrama de bifurcación riguroso sería menos útil para este propósito que la imagen aproximada que hemos elaborado, puesto que en tal diagrama último tercio de la figura aparecería como una región completamente blanca, totalmente cubierta por puntos (recuérdese que, por ejemplo, el teorema de Sarkovskii indica que para μ = 4 hay infinitas órbitas periódicas). El diagrama aproximado que hemos calculado, que no cubre todas esas órbitas periódicas, es más interesante por cuanto la acumulación de los puntos que hemos “entresacado” del conjunto total de órbitas periódicas en ciertas áreas del diagrama dan una mejor indicación de dónde tienen a acumularse los resultados de la ecuación con mayor “densidad”.
El código, que en la imagen se muestra para MSX BASIC, se puede traducir fácilmente a cualquier lenguaje de programación o programa de cálculo más reciente. Es un cálculo sencillo con el que el MSX puede perfectamente. Tarda un ratito en completarlo, eso sí, que los años y los achaques no pasan en balde: en mi MSX, unos 10 minutos. Pero incluso diría que eso es una ventaja más que un inconveniente: proporciona una curiosa satisfacción ver el diagrama creciendo lentamente, de una forma casi orgánica, como los nervios de una hoja que se van extendiendo.
Una vez completada esta apreciación estética del diagrama, no está de más completar su estudio con algunas definiciones más rigurosas. Se llama diagrama de bifurcación, y este término de “bifurcación” hace referencia a la situación en la que el comportamiento de la ecuación cambia de forma cualitativa al modificar alguno de sus parámetros. Por ejemplo, en el intervalo de μ= 2.8 a μ=3, no hay bifurcación alguna: el valor concreto de S al que se produce el punto fijo se va incrementando paulatinamente, pero el comportamiento cualitativo no varía: la ecuación converge con una cierta rapidez hacia ese punto. Por nuestro estudio de la ecuación sabemos además que hay otro punto fijo en S = 0, que solo se alcanza partiendo de su exiguo conjunto estable, que se reduce a dos puntos, Ws(x = 0) = {0,1}. Sin embargo, en μ = 3 sí que se produce un cambio cualitativo: los dos puntos fijos permanecen, pero se vuelven ambos inestables, y la dinámica se estabiliza en una órbita periódica de periodo 2. Se tiene así una bifurcación, que en este caso se denomina bifurcación de doblado del periodo; los motivos de este nombre pueden resultar más claros si se considera que a continuación se producen bifurcaciones análogas a medida que el sistema se estabiliza en órbitas periódicas de periodo 4, 8, etc.
La ecuación logística presenta además un segundo tipo de bifurcación, que en este caso no se muestra en el diagrama. Se produce en μ = 1: para valores inferiores del parámetro, el punto fijo estable es S = 0, mientras que para valores mayores, el punto fijo estable es, como ya se ha visto, y como se muestra en el diagrama, S = 1 – 1/μ. Este segundo tipo de bifurcación, en el que dos puntos fijos intercambian su estabilidad, se denomina bifurcación transcrítica. Existen otros tipos de bifurcación, como la de horca, de silla-nodo, etc., que ya no se manifiestan en el caso particular de la ecuación logística.
Para concluir esta entrada, resulta conveniente recalcar que el procedimiento que se ha descrito para calcular de forma aproximada el diagrama de bifurcación es igualmente aplicable a cualquier otro sistema dinámico. Como ejemplo, en la siguiente figura se muestra el diagrama de bifurcación del sistema p(x) = -λx2 + 5/2x + 1 en función del parámetro λ, obtenido en esta ocasión mediante un programa de cálculo actual.
Resulta evidente un cierto aire de familia entre el diagrama de bifurcación de este sistema cuadrático y el de la ecuación logística, pues se observan las mismas bifurcaciones de doblado del periodo; lo cual se justifica considerando que en efecto ambos sistemas son familiares próximos (la ecuación logística también se puede expresar en forma de ecuación cuadrática). Pero, como se ha indicado, el procedimiento es igualmente válido para cualquier otro sistema.
Esta entrada forma parte de la serie de entradas dedicada a la ecuación logística.