El tres es la puerta del caos: esta afirmación, que parece propia de una novela de fantasía, condensa en realidad uno de los resultados más notables de las matemáticas del siglo XX: El teorema demostrado por Sarkovskii en 1964, también descubierto independientemente por Li y Yorke en 1975.
En una entrada anterior, se ha descrito el comportamiento de la ecuación logística, Si+1 = μ · Si · (1-Si), para diversas condiciones iniciales y diferentes valores de su parámetro μ. Como se vio en esa entrada, la ecuación pasa de tener un determinado punto fijo, a valores bajos de μ, para presentar sucesivamente órbitas periódicas de periodo dos, órbitas periódicas de periodo cuatro y comportamientos cada vez más complejos. Estos resultados se suelen condensar en un diagrama de bifurcación como el que encabeza esta entrada, diagrama que muestra los puntos fijos y los puntos que forman las órbitas periódicas obtenidas a diferentes valores del parámetro μ. Puede decirse con justicia que este diagrama para la ecuación logística es uno de los grandes iconos culturales de las matemáticas del siglo XX.
Podría pensarse que este comportamiento, el paso del punto fijo, a una órbita periódica de periodo dos, una órbita periódica de periodo cuatro, etc., es una peculiaridad característica de la ecuación logística. Sin embargo, el Teorema de Sarkovskii muestra el resultado asombroso de que en realidad este comportamiento es general. Expresado según la formulación que aparece en el libro A First Course in Discrete Dynamical Systems, de Richard A. Homgren, este teorema puede enunciarse como sigue:
Orden de Sarkovskii: El orden de Sarkovskii de los números naturales es: 3 > 5 > 7 > … > 2·3 > 2·5 > 2.7 > … > 22·3 > 22 · 5 > 22 · 7 > … > 2n·3 > 2n · 5 > 2n · 7 > … > 23 > 22> 2
Teorema de Sarkovskii: Supóngase que f es una función continua de los números reales y que f tiene una órbita periódica de periodo n. Si n > m en el orden de Sarkovskii, entonces f también tiene una órbita periódica de periodo m.
Es decir, el comportamiento periódico, si se manifiesta, tiene como caso más sencillo el de periodo 2, que es el número que ocupa la posición más baja en el orden de Sarkovskii. Así, una determinada función f puede tener una órbita periódica de periodo dos sin tener órbitas periódicas de otros periodos. Este es el caso, por ejemplo, de la ecuación logística con μ = 3.25.
En la entrada anterior se describió cómo se puede calcular esta órbita de forma analítica, y se discutió también cómo este procedimiento se vuelve rápidamente inmanejable a medida que se incrementa el periodo. Una forma alternativa y mucho más sencilla de analizar semicuantitativamente el comportamiento periódico de una función es el procedimiento gráfico.
Este procedimiento se puede aplicar fácilmente, por ejemplo, con un programa de hoja de cálculo como Excel. Para ello, se construye una hoja en la que en varias columnas sucesivas se vaya calculando el resultado de componer la función f consigo misma: para una determinada columna de valores iniciales de x, en la segunda columna se calcula f(x) = μ·x·(1-x), en la tercera se calcula f2(x) = f ◦ f (x), lo que se puede hacer sencillamente volviendo a aplicar la función f(x) = μ·x·(1-x) sobre los resultados de la segunda columna, etc:
A continuación, se representan gráficamente estas columnas junto con la diagonal (la función g(x) = x). La intersección de estas dos funciones proporciona los puntos fijos (y las correspondientes órbitas periódicas, en el caso de las funciones compuestas consigo mismas). Así, por ejemplo, esta representación para f(x) = 3.25·x·(1-x) es:
Representación en la que se obtiene una intersección f(x) = 3.25·x·(1-x) = x en el punto x = 0.69, correspondiente al punto fijo x = 1 – 1/μ, ya identificado en aquella anterior entrada. Del mismo modo, si se representa la curva para f2(x), se tienen tres puntos de intersección, que corresponderían a la solución de la ecuación f2(x) = f ◦ f (x) = 3.25·(3.25·x·(1-x))·(1-3.25·x·(1-x)) = x. El intermedio, x = 0.69, no es más que la prolongación del punto fijo, que también se repite con periodo 2, mientras que los otros dos son la nueva órbita periódica de periodo 2: 0.4953, 0.8124, también identificada en la entrada anterior. Haciendo el diagrama para el siguiente número en el orden de Sarkovskii, 22 = 4, se aprecia que no surgen órbitas periódicas nuevas: los puntos de intersección son la prolongación de los obtenidos con periodo dos (que también se repiten con un periodo 4: 0.4953, 0.8124, 0.4953, 0.8124,0.4953…).
Repitiendo el análisis para μ = 3.5, se obtiene, como ya se describió, el punto fijo, la órbita periódica de periodo dos (que son inestables) y la órbita periódica de periodo cuatro, que es la órbita estable que se obtiene al simular la dinámica representada por la ecuación. Continuando el análisis según el orden de Sarkovskii, puede verse que para 23 = 8 ya no aparecen nuevas soluciones.
Considérese por último el caso de μ = 4. En este caso el análisis gráfico se puede resumir con una figura, pues basta analizar el resultado para órbitas de periodo 3. Como se muestra en la siguiente figura, la ecuación cuenta con dos órbitas (ambas inestables) de este periodo, pues hay ocho puntos de intersección, uno correspondiente al punto fijo x = 1 – 1/μ, otro en el cero, que es el otro punto fijo de la ecuación, y dos conjuntos de tres puntos correspondientes cada uno de ellos a una de las órbitas periódicas de periodo 3:
El 3 es el número que ocupa el primer puesto en el orden de Sarkovskii. ¿La conclusión? La ecuación logística cuenta con órbitas periódicas para todos los valores posibles del periodo, un número infinito (numerable) de órbitas periódicas con todos los posibles periodos n ∈ N. Este resultado, sorprendente como es, no es en modo alguno exclusivo de la ecuación logística; la función p(x) = -3/2x2 + 5/2x + 1, por ejemplo, también tiene una órbita periódica de periodo 3 (se puede comprobar como ejercicio) y por lo tanto infinitas órbitas periódicas, al menos una para cada uno de los posibles valores del periodo n.
Pero la magia del 3 no se acaba aquí. Como demostraron Li y Yorke (en el artículo que de paso introdujo el término “caos” en las matemáticas), la existencia de órbitas de periodo 3 no solo implica las de todas las restantes posibles órbitas periódicas (y por lo tanto una cierta estructura “ordenada”), sino también el puro desorden: si hay una órbita de periodo 3, hay un número infinito (no numerable) de puntos desde los que nunca se llega a ningún patrón repetitivo, ya sea un punto fijo o una órbita periódica.
Revisemos una vez más el estudio que realizamos en la anterior entrada para el caso de μ = 2. Como vimos en esa entrada, cualquier condición inicial comprendida entre 0.1 y 0.9 acababa conduciendo tras un cierto número de iteraciones de la ecuación al punto fijo, x = 1 – 1/μ = 1/2. Decimos en este caso que estos puntos pertenecen al conjunto estable de este punto fijo, Ws(x = 1/2): todos estos puntos pueden no ser estables, o formar parte de una órbita periódica, pero tienen el comportamiento “civilizado” de que partiendo de ellos se llega eventualmente a una de estas dos cosas (en este caso, el punto fijo x= 1/2). De hecho, para la ecuación logística con μ = 2, el conjunto estable del punto x = 1/2 abarca todas las posibles condiciones iniciales excepto los extremos, Ws(x = 1/2) = (0,1), y estos extremos conforman el conjunto estable del otro punto fijo, x = 0: Ws(x = 0) = {0,1}. Pues bien, la ecuación logística con μ = 4 tiene un número infinito (y no numerable) de puntos que jamás acaban llegando a ningún punto estable, a ninguna órbita periódica ni a ninguna otra forma de regularidad.
Y todo esto a partir de un teorema cuya demostración es tan sorprendente como su contenido: como se ha visto en su formulación, para que sea aplicable apenas se requiere un requisito: que f sea una función continua, y este requisito en realidad solo es preciso para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio, una propiedad tan intuitiva que casi resulta de sentido común. En efecto, si Platón hubiera escrito su Menón en el siglo XX, perfectamente habría podido emplear el Teorema de Sarkovskii en vez del Teorema de Pitágoras en ese célebre pasaje en el que intenta demostrar que todo aprendizaje es recuerdo mostrando cómo un niño sin ninguna formación matemática puede entender perfectamente la demostración del Teorema de Pitágoras. Vale que le habría quedado un texto un poco aburrido, porque la demostración del Teorema de Sarkovskii en su versión completa es relativamente larga (hay de hecho varias formas alternativas de demostrar el teorema, aquí puede leerse una de ellas; y hay también demostraciones más breves para el caso límite de que las órbitas de periodo 3 implican las de todos los otros periodos, por ejemplo en el libro de Holmgren mencionado algo más arriba), pero con algo de paciencia cualquiera puede seguirla. Un buen ejemplo, como dice Holmgren, de que en matemáticas en modo alguno está ya todo dicho desde hace siglos, y que lo que queda por decir no necesariamente implica recurrir a casos extremadamente especializados o a “técnicas arcanas”: para el Teorema de Sarkovskii sólo hizo falta la continuidad.
Esta entrada forma parte de la serie de entradas dedicada a la ecuación logística.