Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) formó parte, como Keynes o Russell, del King’s College de Cambridge, al que accedió como profesor a la edad de veintiún años. En su breve carrera, destacó por sus aptitudes para la lógica, las matemáticas y la economía. Falleció con tan solo veintiséis años tras una operación quirúrgica.
Como consecuencia de su temprana desaparición, no tuvo tiempo de publicar en vida la mayor parte de sus trabajos. Estos fueron editados y publicados póstumamente por R. B. Braithwaite en 1931. En concreto, el grueso del trabajo de Ramsey sobre la teoría de la probabilidad está contenido en su ensayo Truth and Probability, incluido en esta recopilación. Pese a que no llegó a ser publicado durante la vida de su autor, este ensayo, datado en 1926, constituye ya un texto terminado. En la recopilación también se incluyen otros documentos que tratan sobre la probabilidad, como Further Considerations (1928) o Probability and Partial Belief (1929), que no están tan pulidos y en ocasiones se reducen a anotaciones y esbozos de ideas que puede suponerse que Ramsey planeaba desarrollar con más detalle.
Si en su reseña de 1922 Ramsey criticaba las probabilidades no numéricas y no comparables de Keynes, con Truth and Probability desarrolla la metodología de asignación de valores a las probabilidades de un modo que acaba convirtiéndose en una enmienda a una porción muy considerable de la teoría de lógica de Keynes. Ramsey conserva la idea de Keynes de probabilidad como lógica de la creencia parcial, que se aplica por lo tanto a proposiciones o funciones proposicionales. En el prólogo de Truth and Probability declara que no se puede tener la certeza de que tal concepto sea el más útil en la física, ya que esta disciplina parece más inclinada hacia una interpretación frecuentista como la de von Mises (al menos, en la física de su tiempo, con desarrollos como el de la Termodinámica Estadística). Indica también en las primeras páginas de su ensayo que una teoría de la probabilidad expresada en términos de funciones proposicionales se extiende de forma natural a una teoría frecuentista, sin más que considerar en cada relación de probabilidad a/h la proporción de elementos de h que son también elementos de a, pero poco después declara que no cree que las probabilidades que aparecen en propiedades físicas, como las que conforman la entropía de la termodinámica estadística, sea verdaderamente tales proporciones entre números de elementos de clases. Sin embargo, no llega a desarrollar los motivos de esta afirmación, o las posibles respuestas alternativas a las demandas de las teorías físicas. Y, en todo caso, considera que la lógica de la creencia parcial es fundamentalmente diferente de lo que trata la teoría frecuentista.
Como se recordará, Keynes sostenía que siendo las probabilidades subjetivas (en el sentido de que reflejan un estado del conocimiento), tienen una dimensión lógica objetiva puesto que reflejan la única conclusión racional posible en relación con un conocimiento dado, y adscribía además esta dimensión racional a un conocimiento directo o intuitivo similar al que permite que las proposiciones lógicas elementales se afirmen como verdaderas o falsas de forma directa, sin recurso a otras proposiciones que las sustenten. El hecho de que existan probabilidades no numéricas o no comparables se deriva de este planteamiento: dado que, en numerosas ocasiones, como por ejemplo las que se encuentran las compañías de seguros o los juicios por perjuicios, no existe ninguna forma racional de asignar un valor numérico a las probabilidades implicadas, ha de concluirse que estas probabilidades no son numéricas.
Ramsey centra su crítica en esta dimensión racional, intuitiva, de las proposiciones lógicas de Keynes. En un párrafo de Truth and Probability citado con mucha frecuencia, declara:
Pero regresemos a una crítica más fundamental de los planteamientos de Keynes, que es la crítica obvia de que no parece existir nada como las relaciones de probabilidad que él describe. Él supone que, al menos en algunos casos, se pueden percibir; pero si he de hablar por mí mismo, estoy seguro de que no es así. Yo no las percibo, y si se me ha de persuadir de que existen, ha de ser mediante argumentos; además, sospecho intensamente que otros tampoco las perciben, pues generalmente son incapaces de alcanzar acuerdos sobre las relaciones que existen entre dos proposiciones dadas.
Ramsey, 1926
A continuación, describe casos en los que en efecto existe cierto acuerdo sobre las relaciones de probabilidad, y casos en los que este acuerdo no existe, llegando a la conclusión, paradójica en el marco de los planteamientos de Keynes, de que los casos en los que se encuentran más dificultades son aquellos que están expresados en términos más puramente lógicos:
(…) todos podemos dar estimaciones de probabilidad en casos tomados de la vida real, pero somos bastante incapaces de hacerlo en los casos más sencillos desde el punto de vista lógico, en los cuales, si la probabilidad fuese una relación lógica, debería ser más fácil discernirla.
Ramsey, 1926
En efecto, como se indicó en el capítulo 2, los problemas que generan contradicciones dentro de la teoría de Keynes son los planteados en términos estrictamente lógicos o geométricos, sin contaminación alguna de consideraciones empíricas. Esta formulación parecería a priori la más apropiada para una teoría lógica como la de Keynes, y, sin embargo, para salvaguardar la aplicación del Principio de Indiferencia de Keynes en estos problemas, acaba resultando imprescindible, como sostiene Jaynes (1973), recurrir a elementos empíricos que proporcionen suficiente información para plantear apropiadamente el problema.
Resulta por lo tanto necesario sustituir la noción de probabilidad como relación lógica de Keynes, para Ramsey etérea y vacía de contenido, por otra que refleje ese conocimiento parcial del que se dispone en los «casos tomados de la vida real». Hasta este punto, puede apreciarse que los diagnósticos de Ramsey y von Mises son esencialmente equivalentes, pues ambos apuntan a la necesidad de una definición operativa de la probabilidad, pero en cuanto a las soluciones adoptadas por ambos autores, las diferencias no podrían ser mayores; pues mientras von Mises pretende equiparar la probabilidad a otras propiedades físicas susceptibles de medición, Ramsey sostiene, en concordancia con su concepción de la probabilidad como lógica de la creencia parcial, que lo que se precisa es un método puramente psicológico de medida de las creencias.
Ramsey considera en primer lugar la posibilidad de que tal medición se refiera directamente a dichos sentimientos de creencia, pero no tarda en rechazarla. En primer lugar, porque no existe una relación directa entre los grados de creencia y la intensidad de los sentimientos que estas suscitan, ya que frecuentemente las proposiciones de las que estamos más seguros son las que admitimos con más naturalidad, sin que medien sentimientos de especial intensidad. Y, además, porque no parece existir ningún método de «medir» tales sentimientos: Ramsey hipotetiza de una forma un tanto cómica que podría quizás concebirse una especie de «psicogalvanómetro» que midiese directamente las creencias, pero puesto que por el momento no tenemos nada semejante a tal instrumento, ha de buscarse un procedimiento alternativo; procedimiento que, coincidiendo con los diagnósticos de von Mises, ha de ser operativo, es decir, ha de establecer una metodología práctica de determinación de las probabilidades.
Siguiendo un razonamiento de corte conductista, Ramsey encuentra este procedimiento operativo no en aspectos internos e indeterminables, como las creencias, sino en elementos externos y observables: en las acciones que se está dispuesto a ejecutar basándose en esas creencias:
Podría sostenerse que la diferencia entre creer y no creer reside en la presencia o ausencia de sentimientos introspectivos. Pero cuando buscamos determinar la diferencia entre creer con más o menos firmeza, no podemos seguir considerando que consiste en tener mayor o menor cantidad de ciertos sentimientos observables; al menos, yo personalmente no soy capaz de reconocer dichos sentimientos. La diferencia parece residir en mi opinión en hasta dónde estamos dispuestos a actuar basándonos en esas creencias: esto podría depender del grado de algún sentimiento o sentimientos, pero yo no sé exactamente cuáles, ni creo que sea indispensable saberlo.
Ramsey, 1926
Respecto de la terminología, resulta interesante observar que lo que en Keynes era una predominancia absoluta de la «razón» y la «lógica», en Ramsey se transforma en «sentimientos» y «creencias», quizá como forma intencionada de distanciarse de Keynes.
Para ilustrar la idea expresada en esta última cita, considérese, siguiendo el ejemplo proporcionado por Ramsey en Truth and Probability, un individuo que está caminando y tiene que considerar la opción de desviarse de su camino para preguntar si va en la dirección correcta. Sea p la probabilidad de que efectivamente la dirección sea correcta (que, en la teoría de Ramsey, equivale a la creencia del individuo en que efectivamente lo es), r el beneficio de llegar al destino deseado, w el beneficio (o, más bien, prejuicio, si es negativo) de equivocarse, y f(x) el coste de desviarse una distancia x para preguntar. Observando la distancia d que el individuo está dispuesto a desviarse para preguntar, debe concluirse que su creencia en p es:
p = 1 – f(d)/(r-w) [Ec. 4.1]
Pues, en efecto, si se repitiese el experimento n veces, el valor esperado de la ganancia si el individuo no pregunta es:
G = npr + n(1-p)w = nw + np(r-w) [Ec. 4.2]
Y el valor esperado si camina una distancia x para preguntar, suponiendo que al preguntar se tiene la certeza de llegar al destino correcto, es:
G = nr –nf(x) [Ec. 4.3]
De modo que igualando ambos términos se obtiene la distancia d que es razonable caminar para preguntar; e, inversamente, si se observa d, la distancia que efectivamente ha decidido desviarse el individuo, la probabilidad p resulta de la expresión 4.1.
Con estos planteamientos, la Teoría de la Probabilidad se levanta sobre una Teoría de la Decisión: el conocimiento de las probabilidades se basa en la observación de las decisiones que toman los individuos en situaciones de conocimiento incompleto. Es por tanto lógico que los textos actuales en los que la teoría subjetiva de la probabilidad de Ramsey se emplea de una forma más directa sean precisamente los de la Teoría de la Decisión (Vélez Ibarrola, 2012), pues es en este contexto en el que la teoría de Ramsey se aplica con más naturalidad.
Resulta por otro lado claro que las acciones de los individuos que resultaría apropiado observar son diferentes en función de la situación concreta: en el ejemplo descrito, sería la distancia recorrida para preguntar, pero en otros habría que considerar otras variables, proliferación de métodos específicos a cada caso que resulta poco deseable. Sin embargo, y haciendo gala de su espíritu británico, Ramsey solventa esta multiplicidad de procedimientos proponiendo una metodología que resulta aplicable en un enorme rango de situaciones: la realización de apuestas.
En efecto, puede considerarse que la firmeza de la creencia de un individuo en una determinada proposición está directamente relacionada con las apuestas que estaría dispuesto a realizar: cuanto más firme sea su creencia, más desfavorables serán las cuotas que aceptaría en una apuesta. Además, el concepto de apuesta puede extenderse en un sentido laxo a todas las decisiones que se toman en la vida cotidiana, ya que esto:
(…) no resulta irrazonable cuando se observa que durante todas nuestras vidas estamos en cierto sentido apostando. Siempre que vamos a la estación estamos apostando que el tren va a pasar, y si no tuviéramos un sentimiento de creencia suficiente en ello, deberíamos declinar la apuesta y quedarnos en casa.
Ramsey, 1926
Ramsey es plenamente consciente de que esta metodología, aunque útil, tiene sus limitaciones: si se tuviese que realizar en la práctica, habría por ejemplo que considerar cuidadosamente la magnitud de las apuestas, ya que muchos no estarían dispuestos a realizar una apuesta tan grande que pudiera dejarlos en la indigencia, por muy firme que fuese su creencia de que fueran a ganarla, y también habría muchos que declinarían hacer apuestas tan pequeñas que no compensasen ni las molestias de realizarlas. Pero, siendo imperfecta, Ramsey la considera útil: del mismo modo que, según su analogía, la mecánica newtoniana es una teoría imperfecta, pero que resuelve a plena satisfacción el problema de calcular las órbitas de la mayoría de los planetas, el método de las apuestas refleja un modelo psicológico imperfecto, pero suficientemente exacto para la mayoría de las aplicaciones prácticas.
Ramsey considera este modelo psicológico basado en las apuestas como aproximación de lo que en desarrollos posteriores de la lógica como los de Kripke (1980) se denominará un modelo de mundos posibles. Para su formalización, establece un nuevo concepto, el de «proposición éticamente neutra». Una proposición éticamente neutra es aquella tal que dos mundos posibles que difieren únicamente en la atribución de verdad de p tienen siempre el mismo valor para el sujeto; es decir, que se verifique o no p, no altera el valor de los mundos posibles para el sujeto.
Este concepto proporciona una referencia a la escala numérica de probabilidades: si p es una creencia éticamente neutra, se define una creencia de probabilidad ½ en p como aquella en la que el sujeto no tiene preferencia entre las opciones (1) a si p es verdadera, b si p es falsa y (2) b si p es verdadera, a si p es falsa, siendo que sí tiene preferencias entre a y b, y que al ser p éticamente neutra, su verdad o falsedad no altera el orden de preferencias entre a y b.
Una proposición éticamente neutra así definida permite establecer una correspondencia biunívoca entre los diferentes mundos posibles entre los que puede elegir el sujeto y valores numéricos que pueden interpretarse como la «utilidad» que proporciona cada uno de esos mundos posibles al sujeto. Estos valores numéricos se establecen en virtud de unos axiomas que desarrollan una relación de orden > y una relación de equivalencia ~ entre mundos posibles. Se define la relación > de modo que a > b si a es preferible a b, y la relación a ~ b si a y b resultan indiferentes. Con esto, los diferentes mundos posibles se ordenan en una escala numérica de utilidades mediante el siguiente sistema de axiomas:
(Axioma 1) Existe una proposición éticamente neutra p que se cree con un grado ½.
(A2) Si se tienen dos proposiciones éticamente neutras p, q como las definidas en A1, y se tiene que (a si p, d si no-p)es equivalente a (b si p, g si no-p), entonces también se verifica que (a si q, d si no-q) es equivalente a (b si q, g si no-q)
En este caso, se dice que ab ~gd; expresión que establece una relación de equivalencia entre los valores o utilidades de los pares a, b y d, g que se explicitará más adelante.
(Teorema 1) Si ab ~gd, entonces ba ~dg, ag ~bd y ga ~db.
(T2) Si ab ~gd, entonces a > b es equivalente a g > d, y a ~b es equivalente a g ~d
(A3) Si a ~b y b ~g entonces a ~ g.
(T3) Si ab ~gd y bh ~zd, entonces ah ~xd.
(A4) Para cualquier a, b, g, existe x tal que ax ~gd.
Estos axiomas, junto con el axioma de continuidad (toda progresión tiene un límite) y el axioma de Arquímedes, permiten relacionar biunívocamente cada mundo posible a,b… con un número real a1, b1…, de modo que se verifique:
ab ~gd ↔ (a1– b1) = (g1– d1) [Ec. 4.4]
Y así se puede identificar cada mundo posible a… con su utilidad numérica a1… de modo que ya no resulta preciso distinguir ambos elementos mediante la notación. Esta axiomatización proporciona también una metodología práctica para construir una escala de utilidades progresivamente más refinada: partiendo de a, b tal que a > b, se asigna a = 1, b = 0. Se busca a continuación un punto intermedio d tal que, para una proposición éticamente neutra p de probabilidad ½, se tenga que (d si p, d si no-p) es equivalente a (a si p, d si no-p); se verifica entonces (a – d) = (d – b) y por lo tanto d = ½; y repitiendo el proceso, se construye una escala cada vez más fina.
Disponiendo de esta evaluación numérica de la utilidad de los mundos posibles entre los que se realiza la elección, se puede realizar una asignación también numérica de las probabilidades. Tomando ahora una proposición cualquiera q (no necesariamente neutra), considérese el escenario en el que se le da al sujeto la opción de elegir entre un mundo a en cualquier caso, o un mundo b si q es cierta y un mundo g si q es falsa. Si el sujeto tuviera la certeza de que q es verdadera (q = 1), su elección se limitaría a comparar a con b, pero si no tiene tal certeza (q < 1), la elección se vuelve más compleja, y el modo en el que el sujeto la realiza permite evaluar su grado de creencia en q. Así, por ejemplo, si al sujeto le resulta indiferente elegir entre a en cualquier caso o b si q es cierta y g si q es falsa, y realizando un razonamiento análogo al presentado con las Ecs. 4.1-4.3, la elección del sujeto refleja una igualdad en su evaluación de las utilidades:
a = b · q + g (1 – q) = g + q (b – g) [Ec. 4.5]
De modo que su creencia en q se puede determinar como:
q = (a – g) / (b – g) [Ec. 4.6]
Para concluir con la revisión de Ramsey a la teoría de Keynes, debe indicarse que si la incapacidad de la teoría de Keynes para tratar sistemas continuos supone un golpe fatal que irremediablemente obliga a abandonarla, como sostienen algunos autores (Gillies, 2000. Suárez, 2020), a la teoría de Ramsey debería aplicársele un veredicto similar, pues en este aspecto comparte las mismas limitaciones. En efecto, incluso aunque se admitiese la capacidad sobrehumana de contemplar un número infinito de apuestas, quedaría la limitación fundamental de que a cada uno de esos elementos de un conjunto infinito debería asignársele una creencia cero. Así las cosas, la única solución viable sería de nuevo discretizar el conjunto infinito en un número finito de subconjuntos o intervalos, con las limitaciones que lleva asociadas, ya discutidas al tratar su aplicación a la teoría de Keynes. Cabe destacar que Ramsey era plenamente consciente de esta limitación y rehusó abordarla:
(…) nada se ha dicho acerca de los grados de creencia cuando el número de alternativas es infinito. Sobre esto no tengo nada útil que decir, salvo que dudo que la mente sea capaz de contemplar más que un número finito de alternativas. Puede considerar preguntas para las que es posible un número infinito de respuestas, pero para ello debe agruparlas en un número finito de grupos.
Ramsey, 1926
Referencias
Gillies, D. (2000), Philosophical theories of probability. Abingdon: Tylor & Francis Group.
Jaynes, E. T. (1973), The Well-Posed Problem. Foundations of Physics, vol. 3, pp. 477-493.
Keynes, J. M. (1921), A Treatise on Probability. Londres: Macmillian&co. Reeditado por Wildside Press LLC (2010)
Kripke, S. (1980), Naming and Necessity. Cambridge: Harvard University Press.
Ramsey, F. P. (1922), Mr. Keynes on Probability, Review Article. The Cambridge Magazine, Vol. XI, No. 1, pp. 3-5. Reeditado en The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 40, No. 2, pp. 219-222 (1989)
Ramsey, F. P. (1926), Truth and Probability, en The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, editado por R. B. Braithwaite (1931). Londres: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Reeditado por Martino Publishing (2013)
Ramsey, F. P. (1928), Further Considerations, en The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, editado por R. B. Braithwaite (1931). Londres: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Reeditado por Martino Publishing (2013)
Ramsey, F. P. (1929), Last Papers, en The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, editado por R. B. Braithwaite (1931). Londres: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Reeditado por Martino Publishing (2013)
Suárez, M. (2020), Philosophy of Probability and Statistical Modelling, en Northcott, R. y Stegenga, J., eds., Elements in the Philosophy of Science. Cambridge: Cambridge University Press
Vélez Ibarrola, R. (2012), Introducción a la Teoría de la Decisión. Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia.
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