A John Maynard Keynes (1883 – 1946) se lo conoce ante todo por sus trabajos sobre economía, pero con su A Treatise on Probability (1921) realizó también importantes aportaciones a la estadística y la teoría de la probabilidad.
El proyecto de Keynes, fundamentar la probabilidad como una forma de argumentación lógica, no puede entenderse sin hacer referencia al momento y el lugar en el que se ejecutó. El momento, las primeras décadas del siglo XX, era el de los grandes esfuerzos de fundamentación de las matemáticas, poco antes de que David Hilbert pronunciara en 1930 su famoso lema «Debemos saber y sabremos». El lugar, el King’s College de la Universidad de Cambridge, acogió durante esos años, entre otros, los trabajos de Russell y Whitehead sobre la fundamentación de la aritmética, los de Moore sobre la ética y los de Wittgenstein sobre el lenguaje.
El planteamiento de Keynes comparte con los de sus compañeros de Cambridge una base común asentada en la lógica y el empirismo. Desde el punto de vista de la lógica, la probabilidad es para Keynes la extensión de la lógica tradicional, que trata sobre la certeza, a los casos en los que solo cabe hablar de una cierta creencia racional debido a que el conocimiento que se tiene de ellos es incompleto; así, la probabilidad es el grado de certidumbre que se puede alcanzar en estas situaciones, y en los casos extremos, cuando dicha certidumbre es nula o plena, la lógica de la probabilidad se reduce a la tradicional. Respecto del empirismo, Keynes hace suya la distinción de Russell entre conocimiento directo y conocimiento por argumento: la teoría de la probabilidad trata del conocimiento que puede obtenerse por argumentación en los casos en los que no se puede alcanzar una certeza completa, y con ella se establecen las formas correctas de construir argumentos en estos casos, pero estos argumentos necesariamente deben partir de un conocimiento empírico, directo, que en el límite se reduce al que proporcionan las impresiones de los sentidos y a lo que se puede afirmar por ostentación.
Siendo la probabilidad una forma de argumentación lógica, Keynes considera incorrecto asignar probabilidades a eventos, a diferencia de lo que se propone en muchos libros de texto actuales. En cambio, la probabilidad se atribuye, al igual que la verdad o falsedad lógicas, a proposiciones. No puede hablarse, por ejemplo, de la probabilidad del evento «llueve en el día de hoy»: ese es un suceso que tendrá lugar o no. La probabilidad se aplica a proposiciones como «hoy va a llover», y representa el grado de certidumbre con el que pueden afirmarse. Además, en el marco de la teoría de la probabilidad de Keynes, esta afirmación no se realiza de una forma arbitraria, sino racional: debe estar sustentada en una serie de consideraciones que la motiven.
La probabilidad no es, por tanto, un atributo de una proposición aislada, sino una relación entre proposiciones: la probabilidad de la proposición «llueve en el día de hoy» solo puede establecerse en relación con otras proposiciones alternativas y con una serie de premisas o hipótesis que la justifican, que en este ejemplo concreto pueden incluir el conocimiento de la ciencia de la meteorología disponible en el momento de realizar la afirmación y las observaciones del estado del clima durante los días anteriores; en este sentido, todas las probabilidades son, para Keynes, condicionales. Esta relación entre proposiciones es indispensable, pues sin ella resulta tan absurdo afirmar que «la proposición p es probable» como podría serlo decir que «la proposición p es igual».
Keynes representa esta relación mediante la siguiente notación, que considera fundamental:
a/h = P [Ec. 2.1]
Mediante la que se expresa que la conclusión a mantiene la relación de probabilidad P con la premisa h. Además, lo que hace posible que pueda establecerse esta relación es, para Keynes, una noción primitiva, objeto de conocimiento directo, intuitivo, y por lo tanto previa a cualquier teoría de la probabilidad: las relaciones de probabilidad elementales son en sí misma evidentes para la razón, del mismo modo que las afirmaciones lógicas elementales resultan intuitivamente evidentes, y no son el resultado de ninguna medida o ningún razonamiento que puedan explicarse desde la teoría. Debido a tales características, estas relaciones son universales, en el sentido de que ante un par a y h, cualquier individuo racional debe sostener una relación de probabilidad P dada.
Estos planteamientos pueden resumirse mediante las siguientes palabras de Wittgenstein, que por otra parte sirven como clara ilustración de los intensos intercambios de ideas entre los autores vinculados a Cambridge en aquellos años:
4.464 La verdad de una tautología es cierta; la de la proposición, posible; la de la contradicción, imposible (…)
5.153 Por sí misma una proposición no es probable ni improbable. Un evento ocurre o no ocurre, no hay término medio (…)
5.155 La unidad de la proposición de probabilidad es: las circunstancias –de las que, por lo demás, no tengo mayor conocimiento– confieren a la ocurrencia de un determinado evento tal y tal grado de probabilidad.
Wittgenstein, 1922
Se deriva de esta concepción de la probabilidad, en la que por otra parte es evidente la influencia de la noción tradicional epistémica de la probabilidad de Laplace, una cierta tensión entre objetividad y subjetividad. Al ser la probabilidad esencialmente dependiente de unas premisas, que podrían variar entre diversos instantes del tiempo en función del avance del conocimiento, es imposible no apreciar en ella un elemento subjetivo. Pero para Keynes este elemento no puede eclipsar el elemento objetivo, mucho más relevante desde el punto de vista de la lógica, según el cual la relación de probabilidad no es una relación que cada individuo pueda establecer de forma caprichosa según sus posibles opiniones o creencias, sino una relación necesaria: de las premisas disponibles en un momento dado h, que además son en sí mismas relaciones lógicas objetivas en el sentido de que dependen del conocimiento y de las circunstancias materiales en que se encuentra el sujeto, y no de sus creencias o disposiciones, se sigue de forma racional una única relación de probabilidad P con la conclusión a, independientemente de lo que pueda opinar o desear una persona u otra al respecto. Sin embargo, esta relación necesaria es, al mismo tiempo, condicional: resulta necesariamente de las premisas conocidas h, pero puede cambiar a medida que esas premisas se amplíen.
En esta dialéctica entre objetividad y subjetividad, Keynes no duda en definirse a sí mismo como un subjetivista:
El método de este tratado ha sido considerar la probabilidad subjetiva como fundamental y tratar las restantes concepciones relevantes como derivadas de esta (…) Un análisis cuidadoso de todos los casos en los que varios autores declaran detectar la presencia de una ‘probabilidad objetiva’ confirma la impresión de que la ‘probabilidad subjetiva’, que trata sobre el conocimiento y la ignorancia, es fundamental, y que la así llamada ‘probabilidad objetiva’, por muy importante que pueda ser desde el punto de vista práctico o científico, es en realidad una clase especial de ‘probabilidad subjetiva’ y deriva de ella.
Keynes, 1921, Cap. XXIV
Así pues, Keynes considera su probabilidad subjetiva, fundada en el estado del «conocimiento y la ignorancia», como la categoría fundamental de la que se derivan, entre otras, las probabilidades aparentemente objetivas. Esta catalogación de su teoría como subjetiva emana de lo que constituye para Keynes el campo de acción de la teoría de la probabilidad, motivada en una concepción del mundo que, como no puede ser de otro modo para un autor encuadrado en el empirismo inglés, es esencialmente determinista (cabe destacar que Keynes escribió su A Treatise on Probability aproximadamente una década antes de que la mecánica cuántica adoptase su forma actual según la interpretación de Copenhague). Desde una premisa determinista sería incoherente admitir que pueden existir procesos intrínsecamente probabilísticos.
Partiendo de este determinismo estricto, explica Keynes que las proposiciones en las que se suele hablar de la (para él) «aparente» probabilidad objetiva, consisten en realidad en aquellas en las que para alcanzar una certeza sería preciso saber mucho más sobre los hechos o sobre las circunstancias que rodean a la proposición, mientras que en cambio los principios fundamentales que las rigen son suficientemente bien conocidos y no precisan mayor dilucidación. En términos actuales, y dejando provisionalmente de lado los procesos regidos por la mecánica cuántica, en coherencia con el momento histórico en el que Keynes desarrolló su trabajo, podría decirse que, para Keynes, los únicos casos en los que estrictamente podría hablarse de algo similar a una «probabilidad objetiva» serían los caracterizados por un comportamiento caótico; es decir, los que tienden a amplificar las incertidumbres en las condiciones iniciales (en los términos de Keynes, en los hechos que rodean a la proposición). En cualquier otro caso solo cabría hablar de una probabilidad subjetiva, representativa de una condición transitoria en el avance del conocimiento.
Así, y siguiendo a Jaynes (2012), la concepción de Keynes de probabilidad objetiva y subjetiva se puede ilustrar con el ejemplo del lanzamiento de una moneda, paradigma en muchos libros de texto de los procesos aleatorios. Las leyes de la mecánica que rigen el lanzamiento de una moneda son perfectamente conocidas, y, en ese sentido, el lanzamiento es absolutamente determinista. Si resulta preciso tratar el lanzamiento como un proceso probabilista es porque las más pequeñas variaciones en las condiciones iniciales o en la forma de efectuar el lanzamiento afectan al resultado; es decir, para predecirlo no necesitamos más conocimiento de las leyes de la mecánica que el que ya tenemos, sino únicamente de los hechos que lo rodean: la posición inicial de la moneda, la forma en la que se le aplican las fuerzas con las que se la lanza, tal vez incluso las condiciones fluidomecánicas del aire cuando se hace el lanzamiento… En este sentido, y puesto que por lo general no se dispone de toda esa información, cabe hablar de una cierta «probabilidad objetiva» asociada al lanzamiento de la moneda, que cualquier libro de texto cifra en ½ para cada uno de los resultados posibles, si la moneda no está trucada. Pero esta expresión es, según Keynes, peligrosamente engañosa, por cuanto ciertamente esta «probabilidad objetiva» no es una propiedad que pueda adscribirse intrínsecamente a la moneda, como podría ser su masa, ni tampoco a la combinación de la moneda y el acto de lanzarla, sino que a lo sumo se puede vincular al grado de control que se tiene del proceso de lanzar la moneda, o, en los términos de Keynes, al conocimiento de las circunstancias que lo rodean. Así, sostiene Jaynes que un lanzador experto puede manipular el resultado con bastante precisión incluso empleando una moneda perfectamente equilibrada, y plantea la hipótesis de que podría construirse un robot que efectuase el lanzamiento de forma perfectamente exacta, reproducible y predecible, con lo que ya no cabría hablar de ningún comportamiento aleatorio ni de ninguna probabilidad. Así, la aparente probabilidad objetiva esconde en realidad una probabilidad subjetiva en el sentido de Keynes, relacionada con un conocimiento incompleto, que se disuelve una vez que el conocimiento de los hechos es suficientemente detallado.
Una vez establecidas estas nociones elementales, el grueso del trabajo de Keynes, que ocupa las partes II y III de su Treatise on Probability, tiene por objetivo establecer los axiomas de la lógica de la probabilidad y las formas de argumentación probabilística correcta. En este desarrollo ocupa un lugar destacado la inferencia bayesiana, que Keynes denomina «Principio de la Probabilidad Inversa». Para Keynes, este principio proporciona el formalismo de los argumentos inductivos:
b/ah = (a/bh) · (b/h) / (a/h) [Ec. 2.2]
Esta fórmula establece cómo se alteran las relaciones de probabilidad de una proposición b cuando al estado de conocimiento inicial h se añade una nueva observación a: si esta observación a proporciona apoyo a la proposición b (lo que, en los presupuestos deterministas de Keynes, ocurre cuando existe alguna relación causal entre a y b, ya sea directa o mediada por alguna causa c común a a y b), entonces en general la probabilidad a/h será pequeña en comparación con a/bh y la creencia en b a la luz de la nueva evidencia b/ah se reforzará respecto de la original b/h.
Así, esta formalización del razonamiento inductivo no solo permite actualizar los valores numéricos de las probabilidades en los (para Keynes, pocos) casos en los que dichas probabilidades pueden expresarse numéricamente, sino que también, y lo que Keynes considera la contribución más importante de la teoría, permite realizar cálculos cualitativos y detectar fallos lógicos en argumentos inductivos. Por ejemplo, Keynes presenta una curiosa comparación entre la clase de argumentos que suelen darse en apoyo de la teoría de la gravedad, la actividad de los espíritus y la existencia de Dios: tomando este último caso, que Keynes desarrolla en detalle en el capítulo XXV de A Treatise on Probability, sean por ejemplo h nuestros datos originales, b la existencia de Dios y a una nueva observación (que, según propone Keynes, podría ser por ejemplo la constatación de un aparente diseño inteligente en la naturaleza). Para Keynes, la falla en muchos argumentos inductivos radica en que invariablemente centran la discusión en la comparación entre a/bh y a/h; en el ejemplo propuesto, en que el orden en la naturaleza a parece más plausible en presencia de un agente ordenador b que en su ausencia. Pero, como revela la fórmula de la Probabilidad Inversa, la probabilidad de b no puede determinarse exclusivamente a partir de a/bh y a/h, sino que requiere también b/h, la probabilidad de la existencia de Dios a la luz de la evidencia disponible: si la probabilidad original b/h es cero, las probabilidades b/ah seguirán siendo cero por muchas observaciones adicionales a que se efectúen. En el ejemplo propuesto, afirma Keynes que la probabilidad que debe adscribirse a la existencia de Dios debe seguir siendo nula a menos que se disponga de una observación inicial que asigne cierta probabilidad distinta de 0 a b/h; observación que, recuperando en este punto la terminología del empirismo de Russell, solo puede provenir para Keynes en última instancia del conocimiento directo.
Referencias
Keynes, J. M. (1921), A Treatise on Probability. Londres: Macmillian&co. Reeditado por Wildside Press LLC (2010)
Wittgenstein, L. (1922), Tractatus logico-philosophicus. Londres: Kegan Paul, Trench, Truner&co. Edición en castellano de Alianza Editorial (2012).
Jaynes, E. T. (2012), Physics of ‘random experiments’, en Jaynes E. T., Probability Theory: the Logic of Science. Cambridge: Cambridge University Press.
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.