A partir de estos colectivos, definidos sobre espacios de atributos dados, la probabilidad surge de dos leyes que para von Mises tienen el rango de postulados empíricos: la Ley de la Estabilidad de las Frecuencias Estadísticas y la Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas.
El primero de estos postulados, la Ley de la Estabilidad de las Frecuencias Estadísticas, se deriva de una sencilla constatación experimental:
Es esencial para la teoría de la probabilidad que la experiencia haya demostrado que en el juego de los dados, al igual que en todos los otros fenómenos en masa que hemos mencionado, las frecuencias relativas de ciertos atributos se vuelven más y más estables a medida que el número de observaciones se incrementa
von Mises, 1957
Así, este concepto, equivalente a las Leyes de los Grandes Números que en la teoría convencional actual de la probabilidad se derivan como teoremas de los axiomas de Kolmogorov, es para von Mises en cambio el primer principio empírico, derivado de las observaciones experimentales, en el que se sustenta su teoría. En efecto, una vez constatada empíricamente esta Ley de Estabilidad de las Frecuencias, la probabilidad se define precisamente como ese valor, determinado experimentalmente, en el que las frecuencias observadas en un colectivo tienden a estabilizarse (Figura 3.1):
(Axioma de Estabilidad de las Frecuencias Estadísticas) Siendo A un atributo arbitrario de un colectivo C constituido por n elementos, y siendo m(A) el número de elementos del colectivo en el que se observa este atributo, entonces existe el límite:
Se define la probabilidad de A en C como:
Figura 3.1: Ilustración del Axioma de Estabilidad de las Frecuencias Estadísticas. Para von Mises, este Axioma se postula a partir de observaciones empíricas
Este primer postulado empírico se completa con un segundo que encapsula una característica esencial de los sistemas objetos de estudio de la probabilidad, cuya caracterización precisa puede atribuirse también a von Mises: la noción de «aleatoriedad».
Para explicarla, consideremos un espacio de atributos Ω = {1, 2, 3} y un colectivo C = {1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 …}. En una primera aproximación, esta pareja de elementos cumple con los requisitos que establecen las definiciones de espacio de atributos y colectivo, así como la Ley de Estabilidad de las Frecuencias de von Mises; en particular, se tendría P(1|C) = 1/3. Pero este sistema viola la intuición de lo que debería ser un proceso probabilístico porque su comportamiento resulta demasiado «regular». Los sistemas que trata la teoría de la probabilidad, en cambio, son «aleatorios».
Von Mises explica esta característica proponiendo que la pareja Ω, C del ejemplo se conciba como un juego en el que el jugador gana cada vez que sale un uno. En estas condiciones, el jugador tendría ganancias aseguradas aplicando un sencillo sistema de apuestas: «apostar únicamente en el primer juego de cada serie de tres». En cambio, la experiencia demuestra que en los procesos reales que trata la teoría de la probabilidad, no existen este tipo de reglas simples, como podría aseverar cualquier cliente asiduo de un casino (Figura 3.2). Se tiene así el segundo principio de la teoría de la probabilidad, resultado, como el primero, de puras observaciones empíricas: la Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas.
Figura 3.2: Ilustración de la Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas. La serie azul representa un colectivo de posible interés para la teoría de la probabilidad. La roja, en cambio, no, pues por su regularidad se presta a un sistema de apuestas predecible
Este segundo postulado, que resulta claro desde un punto de vista intuitivo, es sin embargo difícil de formalizar. Una primera aproximación inocente podría consistir en postular que en cualquier subcolectivo tomado de C, las frecuencias estadísticas deberían tender al mismo valor que en C. Sin embargo, este postulado evidentemente falla porque, por ejemplo, en el colectivo formado por la serie de lanzamientos de un dado se podría construir un subcolectivo tomando únicamente los lanzamientos que produjeron un uno, con lo que se tendrían frecuencias límite distintas a las del colectivo global. Von Mises sugiere que se evite la posibilidad de que se hagan este tipo de «trampas» estableciendo que los subcolectivos deban elegirse antes de conocerse los resultados:
La cuestión de que un elemento dado de la secuencia original pertenezca o no a la secuencia parcial elegida debería ser decidida independientemente del resultado de la observación correspondiente, es decir, antes de que se sepa nada de este resultado.
von Mises, 1957
Pero esto sigue sin excluir la evidencia de que, lo sepa el individuo que hace la elección o no, existe en C una subsecuencia formada únicamente por unos. Sin embargo, esta aproximación contiene otra intuición importante: aunque tales subcolectivos existirán necesariamente en cualquier proceso aleatorio, lo que caracteriza la aleatoriedad es precisamente que no es posible establecer un procedimiento operativo (es decir, viable, por ejemplo, para un individuo que quiere realizar apuestas sobre el proceso aleatorio) para elegirlos de forma selectiva. Partiendo de esta noción, Church (1940) dio una formulación rigurosa a la Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas de von Mises que se basa en su concepto de función recursiva:
Por lo tanto, un Spielsystem [sistema de apuestas] debería representarse matemáticamente no como una función, o ni siquiera como la definición de una función, sino como un algoritmo efectivo para calcular los valores de una función.
Church, 1940
Algoritmo efectivo que, dentro de la teoría de Church, que identifica las funciones computables con las funciones recursivas, debe tomar la forma de un procedimiento recursivo. De este modo, el segundo axioma puede formularse como sigue:
(Axioma de Exclusión de los Sistemas de Apuestas) Sea C un colectivo al que se le aplica el Axioma de Estabilidad de las Frecuencias Estadísticas. Sea A un atributo arbitrario de C para el que su probabilidad se define en C mediante:
Sea C’ una subsecuencia de C elegida mediante un procedimiento recursivo. Entonces, en C’ existe la probabilidad definida mediante:
Y se verifica P(A|C’) = P(A|C).
Es importante completar esta breve exposición de la formalización de la teoría de von Mises resaltando que aunque los axiomas de esta teoría son diferentes de los de la axiomatización convencional de Kolmogorov (y, por ejemplo, la Ley de Estabilidad de las Frecuencias que para von Mises es un postulado, en la teoría matemática de la probabilidad es un teorema), ambos conjuntos de axiomas son consistentes, si bien con la interesante puntualización de que esta compatibilización solo requiere la Ley de Estabilidad de Frecuencias (Gillies, 2000). La Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas, y sus requisitos de aleatoriedad, supone en cambio una restricción adicional no contemplada en la axiomatización de Kolmogorov que indica que no todas las magnitudes que satisfacen los requisitos de la métrica de la probabilidad de Kolmogorov representan lo que para von Mises es un proceso físico probabilístico.
En todo caso, se tiene así una teoría sustentada en principios puramente operativos, de acuerdo con los principios empiristas de von Mises, y que además admite una formulación rigurosa y compatible con los axiomas convencionales de la teoría de la probabilidad.
Referencias
Church, A. (1940), On the concept of a random sequence. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 46, pp. 130-135
Gillies, D. (2000), Philosophical theories of probability. Abingdon: Tylor & Francis Group.
Von Mises, R. (1957), Probability, Statistics and Truth. Londres: George Allen & Unwin Ltd. Reeditado por Dover Publications, Inc. (2019)
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.