El Blog de Alerce

En entradas anteriores, hemos analizado el comportamiento de la ecuación logística S_i+1 = μ·S_i(1-S_i) para valores del parámetro μ < 4. La elección de este rango está justificada por las aplicaciones prácticas: esta ecuación se desarrolló, como se vio, para modelizar la dinámica de las poblaciones, y si se toman parámetros μ > 4, la ecuación diverge fácilmente a un tamaño de población ±infinito, lo que no tiene sentido físico. Sin embargo, el comportamiento matemático de la ecuación logística para μ > 4 tiene, como veremos en esta entrada, un gran interés.

Comencemos por analizar en qué condiciones se produce esa divergencia al infinito, y en qué condiciones la ecuación se mantiene en los valores de tamaño de población con sentido físico, 0 ≤ S ≤ 1. Este análisis es el que se pretende ilustrar con la figura que encabeza esta entrada.

Esta figura está elaborada para un valor concreto del parámetro μ = 4.25, pero el comportamiento de la ecuación es análogo para cualquier μ > 4. Como se aprecia en la figura, hay un rango de valores, en el centro del intervalo de valores de S, para los que f(S) = 4.25·S·(1-S) (en azul en la figura) toma valores mayores que 1; aproximadamente, el intervalo (0.379, 0.621). Puede apreciarse también que en la siguiente iteración de la ecuación logística, f²(S), valores iniciales en este intervalo conducen a S negativos. Eventualmente, estos valores acabarán por divergir, tendiendo, como se ha dicho, al infinito.

Los valores iniciales en los que la ecuación logística puede quedar restringida a valores con sentido físico 0 ≤ S ≤ 1 quedan por lo tanto reducidos, tras analizar la primera iteración f(S), a los otros dos segmentos restantes del intervalo [0,1]. Pero consideremos qué ocurre tras realizar una segunda iteración de la ecuación logística, f²(S) (en la figura, representada en naranja). Como se podrá observar, esos dos intervalos restantes vuelven a quedar divididos por una zona intermedia en la que f²(S) > 1 (y, por lo tanto, en interaciones sucesivas, fⁿ(S) toma valores negativos y eventualmente tendientes a infinito). Quedan ya solo por lo tanto cuatro segmentos del intervalo inicial en los que fⁿ(S) podría permanecer en [0,1].

Parece que empieza a verse una tendencia clara, que queda reafirmada al analizar f³(S) (en la figura, en gris): en el interior de cada uno de esos cuatro segmentos vuelve a observarse un intervalo en el que f³(S) > 1, con lo que ya solo quedan los ocho fragmentos del intervalo inicial representados en gris en la base de la figura como zonas en las que podría darse que fⁿ(S) no diverja. Ya no hemos representado más iteraciones en la figura, pues esta se volvería rápidamente muy farragosa, pero el proceso continúa del mismo modo: tras analizar f⁴(S) nos quedaríamos con 16 segmentos más pequeñitos, formados retirando una porción del interior de cada uno de los ocho segmentos representados en gris en la figura, con f⁵(S) nos quedarían 32 tramos, y así sucesivamente.

Para algunos lectores, el conjunto que estamos construyendo de este modo resultará de inmediato familiar; para los restantes, vamos a ponerle ya mismo un nombre: para μ > 4, el conjunto de valores del intervalo inicial [0, 1] en los que fⁿ no diverge (es decir, permanece en [0, 1]) es un conjunto de Cantor.

Los conjuntos de Cantor son una curiosa construcción matemática ideada a finales del s. XIX por Georg Cantor como parte de su estudio de los infinitos (o, por adoptar la terminología propia de Cantor, los transfinitos). Estos conjuntos tienen el mérito de aunar una colección asombrosa de propiedades contraintuitivas: para empezar, tienen medida cero (es decir, su “tamaño”, si lo midiéramos con algo parecido a una regla, sería cero), pero están muy lejos de estar vacíos; al contrario, contienen un número infinito de elementos. (y, además, un infinito no numerable, es decir, de mayor cardinal que el conjunto infinito de los números naturales). Un conjunto de Cantor se puede definir formalmente mediante tres propiedades:

1. Es un conjunto cerrado y acotado
2. No contiene ningún intervalo; es decir, esos infinitos elementos que lo constituyen (en este caso, números reales, valores iniciales de S) están aislados los unos de los otros, no agrupados en intervalos.
3. Sin embargo, ¡todos esos puntos son puntos de acumulación! Es decir, los infinitos elementos de un conjunto de Cantor, estando todos ellos aislados los unos de los otros, están sin embargo arbitrariamente próximos entre sí, en el sentido de que un punto cualquiera del conjunto se puede aproximar con la precisión que se desee mediante otros puntos del conjunto distintos de él.

Se tiene por lo tanto como conclusión de que, para μ > 4, hay un conjunto infinito, no numerable, de valores iniciales de S en [0,1] que hacen que fⁿ(S) diverja, y otro conjunto, también infinito y no numerable, en los que fⁿ(S) permanece sin divergir para un número de iteraciones n tan grande como se desee. Este segundo conjunto adopta, además, la curiosa estructura matemática de un conjunto de Cantor. De qué forma transita la ecuación logística por los elementos de este conjunto de Cantor es otra cuestión de interés que trataremos en una futura entrada.

Esta entrada forma parte de la serie de entradas dedicada a la ecuación logística.