Habiendo sido así rechazada desde la teoría subjetivista la reducción de la probabilidad objetiva a la frecuencia, queda por lo tanto pendiente el problema de encajar la aparente naturaleza objetiva de algunas probabilidades en una teoría consistente. Para algunos autores como Lewis (1980), la única forma de realizar ese engarce de las probabilidades objetivas reside, precisamente, en adoptar un enfoque subjetivista.
Lewis (1980) propone reemplazar las dos clases de probabilidad de Carnap por las parcialmente equivalentes de probabilidad como grado de creencia y de probabilidad como propiedad (denominada por Lewis «chance»); clases que, a diferencia de las de Carnap, parecen sugerir la posibilidad de una cierta permeabilidad o tránsito entre ellas en función de las circunstancias o de la acumulación de la evidencia. Para Lewis, las afirmaciones sobre las probabilidades como propiedades no son en esencia diferentes a cualquier otra afirmación que refleje algún tipo de conocimiento, pues en definitiva todas estas afirmaciones, de una u otra clase, son elementos que contribuyen a conformar las creencias del individuo:
Para un subjetivista que cree en la probabilidad objetiva, las proposiciones particulares o generales acerca de probabilidades objetivas no tienen nada de especial. Creemos en ellas en diferentes grados. A medida que llega nueva evidencia, nuestra creencia en ellas debería crecer o disminuir según la teoría de confirmación bayesiana.
Lewis, 1980
Este aprendizaje bayesiano tiene sin embargo una naturaleza más compleja que la simple acumulación de una observación más en una de las secuencias de la teoría frecuentista, por cuanto tiene que dar cuenta de propiedades como la que, siguiendo a Skyrms (1977), Lewis denomina «resiliencia»: la reluctancia a abandonar creencias o principios bien establecidos, como los que podrían provenir, precisamente, de una evaluación de la probabilidad objetiva proporcionada por una teoría generalmente aceptada. Así, siguiendo el ejemplo de Lewis, si tras analizar exhaustivamente una moneda y el método de lanzarla llegamos al convencimiento total de que no está trucada, será muy difícil que una frecuencia observada de caras distinta del 50% en cualquier secuencia de lanzamientos pueda persuadirnos de que la probabilidad de que salga cara la siguiente vez sea distinta del 50% que nos proporciona nuestra teoría; más bien tenderemos a atribuir el resultado de la secuencia de lanzamientos a una coincidencia más o menos improbable.
Así pues, el simple condicionamiento bayesiano se debe refinar incorporando un mecanismo de calibración que ajuste las creencias de la probabilidad en los casos en los que se disponga de algún tipo de evidencia específica sobre dichas probabilidades (Williamson, 2018). Lewis condensa este mecanismo de confirmación en lo que él denomina «Principio Principal»:
Sea C cualquier función inicial de creencia razonable. Sea t cualquier tiempo. Sea x cualquier número real en el intervalo unidad. Sea X la proposición que establece que la probabilidad, en el tiempo t, de que se verifique A, es igual a x. Sea E cualquier proposición compatible con X que sea admisible en el tiempo t. Entonces, C(A|XE) = x.
Lewis, 1980
Principio que expresa que si la evidencia disponible incluye la proposición X de que la probabilidad de A en t es x, entonces se debería tener un grado de creencia x en A, siempre y cuando la restante evidencia disponible E no incluya nada que se oponga a ello (Hawthorne et al., 2017). Lewis (1980) también presentó una formulación alternativa equivalente del Principio Principal en término de funciones de distribución de probabilidad, como sigue:
Sea C cualquier función inicial de creencia razonable. Entonces, para cualquier tiempo t, mundo w y proposición A en el dominio de Ptw,
Ptw (A) = C(A/HtwTw)
Es decir: la distribución de probabilidades en un tiempo t y mundo w dados proviene de cualquier función de creencia inicial razonable mediante condicionamiento por la historia completa del mundo hasta ese momento, Htw, junto con la teoría completa de la probabilidad para ese mundo Tw.
Lewis, 1980
Con lo que se tiene que la distribución de probabilidad se obtiene a partir de una creencia inicial razonable (es decir, coherente en el sentido de Ramsey), pero posiblemente arbitraria, que se refina mediante condicionamiento con la teoría completa para ese mundo disponible para el individuo, la cual puede incluir, entre otros elementos de juicio, observaciones empíricas y afirmaciones teóricas acerca de la probabilidad como propiedad («chance»).
Resulta reseñable que para Hawthorne et al. (2017) esto supone incorporar una modalidad del Principio de Indiferencia en la teoría subjetivista. En efecto, supóngase que las evidencias E, EF, y E(A↔F) no son anuladoras en el sentido del Principio Principal, es decir, no resultan incompatibles con la proposición X de que la probabilidad de que se verifique A en t es x. Entonces, puesto que tanto EF y E(A↔F) no son anuladoras de X:
P(A|FXE) = P(A|(A↔F)XE) = x > 0 [Ec. 4.21]
Aplicando el teorema de Bayes:
[Ec. 4.22]
Pero en esta ecuación P(F|AXE) = P(A↔F|AXE), de modo que los numeradores son iguales. Por lo tanto, los denominadores también han de serlo:
(F|XE) = P(A↔F|XE) [Ec. 4.23]
Y, por lo tanto:
P(F|XE) = P(AF|XE) + P(¬A¬F|XE) =
= P(A|FXE)·P(F|XE) + (1 – P(F|¬AXE))·P(¬A|XE)
= x·P(F|XE) + (1-x)·(1 – P(¬A|FXE)·P(F|XE)/P(¬A|XE) (pues P(¬A|XE) = 1-x)
= x·P(F|XE) + (1-x) – (1-x)·P(F|XE) [Ec. 4.24]
Y, agrupando términos:
2·(1-x) P(F|XE) = 1-x [Ec. 4.25]
Luego:
P(F|XE) = 1/2 [Ec. 4.26]
Ahora, supóngase que E no es una evidencia anuladora de A, y que XE no contiene ninguna información relevante para F o que haga F relevante para A. Entonces, ni EF, ni E(A↔F) son anuladoras y, según la ec. 4.26, del Principio Principal se deduce que ha de ser P(F|XE) = 1/2. Es decir, si la evidencia XE no contiene información alguna acerca de F, bajo tal evidencia XE y en aplicación del Principio Principal, uno debería creer F y ¬F en la misma medida, tal y como establece el Principio de Indiferencia.
Referencias
Hawthorne, J., Landes, J., Wallman, C, Williamson, J. (2017), The Principal Principle Implies the Principle of Indifference. British Journal for the Philosophy of Science, vol. 68, no. 1, pp.
Lewis, D. (1980), A Subjetivist’s Guide to Objective Chance, en Jeffrey, R. C., Studies in Inductive Logic and Probability. Berkeley: University of California Press.
Skyrms, B. (1977). Resiliency, Propensities, and Casual Necessity. Journal of Philosophy, Vol. 74, No. 13, pp. 704-707.
Williamson, J. (2018), Justifying the principle of indifference. European Journal for Philosophy of Science, vol. 8, pp. 559-586.
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.