Lamentablemente, las dificultades en la aplicación del Principio de Indiferencia no acaban aquí. Entre las cuasi innumerables objeciones elaboradas de forma más o menos maquiavélica que se pueden encontrar en la literatura especializada, otra de las paradojas del Principio de Indiferencia que ha recibido una atención considerable, en este caso muy merecida por la patente simplicidad de su planteamiento, es la que podría denominarse como «paradoja de las mezclas de agua y vino»: se tiene una mezcla de agua y vino de la que lo único que se sabe es que hay, como mucho, tres veces más de uno de los líquidos que del otro; es decir, 1/3 ≤ vino/agua ≤ 3. ¿Cuál es la probabilidad de tener una proporción vino/agua ≤ 2?
Puesto que solo se sabe el intervalo en el que se encuentra la proporción entre los líquidos, el Principio de Indiferencia asigna probabilidad uniforme en este intervalo. Por lo tanto, un cálculo elemental produce P (vino/agua ≤ 2) = (2-1/3)/(3-1/3) = 5/8. Sin embargo, nada impide considerar la proporción inversa, agua/vino. En este caso, se sabe 1/3 ≤ agua/vino ≤ 3, el Principio de Indiferencia asigna de nuevo probabilidad uniforme a este intervalo, y P (vino/agua ≤ 2) = P (agua/vino≥1/2) = (3-1/2)/(3-1/3) = 15/16.
Se tiene así una nueva contradicción que, como explica Gillies (2000), se producirá en todos y cada uno de los casos en los que el problema se pueda expresar indiferentemente en términos de variables x o y entre las que medie una transformación y = f(x) no lineal. Los requisitos de Keynes podrían indicar que la aplicación del Principio de Indiferencia falla porque no se satisfacen las condiciones de simetría, pero no ofrecen mayor guía para solucionar el problema.
Mikkelson (2004) aplica a este problema unos razonamientos similares a los que Jaynes (1973) empleó en el problema de las cuerdas del círculo. En opinión de Mikkleson, la contradicción se deriva de que la elección (por otra parte, arbitraria) de una u otra proporción como variable a la que aplicar el Principio de Indiferencia es incorrecta, por no ser ninguna de estas proporciones suficientemente «esencial» o «primaria» para caracterizar el problema. Así, Mikkleson diferencia entre «factores primarios» y «factores derivados» y establece que el Principio de Indiferencia, como principio lógico fundamental, solo actúa sobre los factores primarios.
El problema radica entonces en identificar cuáles son esos factores primarios. Para Mikkleson, en el ejemplo de la mezcla vino/agua, la proporción es un factor derivado en el que el primario es la cantidad. Así, si se plantea el problema en términos de las masas de vino y agua que se toman para formar una masa total dada de una mezcla con unas proporciones determinadas, las inconsistencias desaparecen (nótese que entre estas variables opera una relación lineal, Magua = Mtotal – Mvino, con lo que se evita el problema de las transformaciones no lineales detectado por Gillies), y la probabilidad buscada resulta ser 5/6.
La solución de Mikkleson tiene así la ventaja evidente respecto de la planteada en términos de proporciones de evitar las inconsistencias. Sin embargo, más que de una cualidad intrínseca del problema, el análisis de Mikkleson parece depender del modo que la práctica común sugeriría para ejecutar el proceso; en efecto, si uno visita un laboratorio de química o enología, encontrará numerosos recipientes e instrumentos para medir masas y volúmenes, pero ninguno para medir proporciones. Pero esta elección de «factores primarios» no es en modo alguno única: por ejemplo, un operario de una fábrica de pinturas en la que se opere mediante un proceso de flujo en continuo en el que se mezclen disolventes y pigmentos usando una válvula de tres vías (similar a los grifos que, en un cuarto de baño, mezclan el agua caliente y la fría), podría considerar que el «factor primario» es la posición de la válvula; la proporción entre los fluidos seguiría siendo un «factor derivado», dependiente en una forma más o menos compleja de la posición de la válvula de tres vías. Así pues, más que en un mal análisis lógico del problema, la cuestión radica en que, en términos de Keynes, su formulación no incluye todas las premisas relevantes, que Jaynes traduce como las precisas para verificar la solución experimentalmente; pues, en este caso, en efecto cabe esperar que la verificación conduciría a resultados diferentes si la ejecutara el investigador del laboratorio de química y el operario de la fábrica de pinturas, o, en general, en función del método concreto empleado para preparar las mezclas de agua y vino.
Con todas sus limitaciones, y pudiendo calificársele, incluso, de inocente, el análisis de Mikkleson tiene así la virtud de destacar un aspecto que, aun pareciendo obvio, no tiene un encaje claro en la teoría de Keynes: si el Principio de Indiferencia se fundamenta de algún modo en la estructura lógica del problema, parece claro que no se podrá aplicar indiscriminadamente, basándolo en cualquier variable elegida arbitrariamente, sino que será preciso justificar el planteamiento descendiendo hasta un nivel lo suficientemente básico como para que la variable elegida represente adecuadamente dicha estructura lógica. Así, las dificultades que revelan las «paradojas» del Principio de Indiferencia no corresponderian tanto a fallas del principio en sí, sino más bien a la incapacidad de la teoría de Keynes para especificar o explicar el modo correcto de aplicar el Principio, o, quizá, incluso al estatus de principio lógico a priori que pretende otorgarle Keynes.
Cabe por lo tanto preguntarse si tras estas consideraciones se puede seguir defendiendo que el Principio de Indiferencia es un principio lógico, o si por el contrario hay que asumir que tiene más bien un carácter ontológico, en el sentido propuesto por Suárez (2020), relacionado con la naturaleza material o con los mecanismos del sistema estudiado. En el segundo de los casos, el Principio ya no sería una regla lógica accesible a la «razón pura», sino algo equiparable a las leyes de la física, de modo que su correcta aplicación requeriría de una justificación y una validación experimental en el sentido que propone Jaynes.
En todo caso, del análisis de Mikkleson puede concluirse que la «paradoja de la mezcla de agua y vino» no es tal paradoja, sino un problema mal planteado, que tiene sin embargo el mérito de demostrar que la teoría de Keynes no nos puede decir exactamente qué es lo que está mal. Pero, en justicia, es importante recalcar que el planteamiento no es incorrecto únicamente desde los postulados del Principio de Indiferencia, sino también desde las concepciones alternativas de la probabilidad: desde una perspectiva frecuentista, la probabilidad es la frecuencia observada experimentalmente en la repetición de un determinado proceso, con lo que algo como la «proporción agua/vino», definido sin especificar claramente cómo producir mezclas con las que se puedan medir frecuencias, no es ni siquiera una probabilidad; y desde una perspectiva subjetivista, el investigador del laboratorio de química y el operario de la fábrica de pinturas tendrían naturalmente evaluaciones de la probabilidad diferentes sin que esto supusiese contradicción alguna, pues estarían en realidad considerando dos cosas distintas, y serían incapaces de converger a una común a menos que se pusiesen antes de acuerdo en el modo (o combinación de modos) empleados para preparar las mezclas.
Referencias
Gillies, D. (2000), Philosophical theories of probability. Abingdon: Tylor & Francis Group.
Jaynes, E. T. (1973), The Well-Posed Problem. Foundations of Physics, vol. 3, pp. 477-493.
Keynes, J. M. (1921), A Treatise on Probability. Londres: Macmillian&co. Reeditado por Wildside Press LLC (2010)
Mikkelson, J. T. (2004), Dissolving the Wine/Water Paradox. The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 55, No. 1, pp. 137-145.
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.