El éxito de los intentos de Keynes en la formalización de los requisitos para la aplicación del Principio de Indiferencia se puede juzgar considerando problemas no tan triviales como el de los colores. Bertrand (1889) desarrolló una serie de paradojas con una estructura común que se pueden ejemplificar con la que ha recibido mayor atención: la paradoja de las cuerdas trazadas sobre un círculo.
Propone este problema que se tome una circunferencia y se trace una cuerda al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de esta cuerda sea mayor que la del lado del triángulo equilátero circunscrito en la circunferencia?
Como ilustra la Figura 2.2, hay al menos tres formas de plantear la resolución de este problema mediante el Principio de Indiferencia:
A. Considerando la distancia entre el centro de la cuerda y el centro de la circunferencia. Esta distancia puede tomar cualquier valor en [0, R] y no hay motivos para preferir un valor sobre el otro; por lo tanto, toma probabilidad uniforme en este intervalo. Por otra parte, la cuerda será más larga que el lado del triángulo siempre que la distancia del centro de la cuerda al centro del círculo esté en [0, W], y puesto que un cálculo trigonométrico elemental produce W = R/2, se tiene p = 1/2.
B. Considerando los ángulos de intersección de la cuerda en la circunferencia. Este ángulo puede tomar cualquier valor en [0, π], teniendo, por aplicación del Principio de Indiferencia, probabilidad uniforme en este intervalo, y la cuerda es más larga que el lado del triángulo si el ángulo está en el intervalo [π/3, 2π/3], luego p = 1/3
C. Considerando la posición del centro de la cuerda en el círculo. La cuerda será más larga que el lado del triángulo si su centro está en el círculo de radio R/2 concéntrico al inicial. Por lo tanto, p = (π(R/2)2)/(πR2) = 1/4.
Figura 2.2: Tres formas de calcular la probabilidad de que la longitud de una cuerda elegida al azar en una circunferencia sea mayor que la del lado del triángulo equilátero circunscrito en la circunferencia: A) Asignando probabilidad uniforme a la distancia entre el centro de la circunferencia y el centro de la cuerda. B) Asignando probabilidad uniforme al ángulo de intersección de la cuerda. C) Asignando probabilidad uniforme a la posición del centro de la cuerda.
Se tienen así tres aplicaciones aparentemente legítimas del Principio de Indiferencia que conducen a resultados contradictorios, y de casos como este, Bertrand y muchos otros autores concluyen que el Principio de Indiferencia es lógicamente inconsistente.
Y en efecto, no parece que el análisis de Keynes o sus requisitos para la aplicación del Principio de Indiferencia puedan detectar falla alguna en ninguna de las tres soluciones; en A Treatise on Probability Keynes se limita a constatar que las tres opciones evidentemente tienen que producir diferentes resultados porque aplican el Principio de Indiferencia considerando la cuerda no como una línea, sino como el límite de diferentes figuras bidimensionales que abarcan cierto área del círculo: en el primer caso, como un triángulo cuya base tiende a cero, en el segundo como un cuadrilátero con dos lados paralelos separados por una distancia que tiende a cero, y en el tercero como el área de una sección que abarca el centro de la circunferencia y de forma indefinida. Pero, más allá de una sugerencia vaga respecto de que algunas de estas opciones podrían violar el requisito de no divisibilidad, no ofrece solución alguna.
Jaynes (1973), en cambio, tiene una opinión muy diferente: la contradicción entre los tres resultados no se debe a una falla lógica en el Principio de Indiferencia, sino a fallos en la interpretación del problema analizado o, quizá, fallos en el mismo planteamiento del problema. Sostiene Jaynes que el planteamiento del problema impone implícitamente ciertos requisitos a las soluciones, que se pueden derivar, entre otras razones, de que el problema no establezca requisitos o características concretas; en particular, el problema de las cuerdas de Bertrand no especifica ni el tamaño del círculo, ni su ubicación.
La primera de estas condiciones refleja que al no especificarse el radio de la circunferencia, la solución debe ser independiente de dicho radio; es decir, debe ser invariante frente a transformaciones de escala que aumentarían o disminuirían el radio de la circunferencia. De esta condición, Jaynes deduce tras un análisis matemático que la solución ha de tener la forma:
f(r) = (q·rq-2)/(2π·Rq) [Ec. 2.5]
Donde f(r) es una función de densidad de probabilidad definida en el interior círculo que establece la probabilidad de que la cuerda elegida al azar pase por cada punto del círculo (expresada únicamente en términos de la coordenada radial r, pues por consideraciones de simetría resulta evidente que la solución no puede depender de la coordenada angular) y q es una constante sin determinar. Este resultado permite descartar la opción B, por cuanto puede mostrarse que esta opción corresponde a una función de densidad f(r) = K·(R2 – r2)-1/2, que es incompatible con la Ec. 2.5.
A partir de la segunda condición, que establece la independencia respecto de la ubicación, Jaynes sostiene que la solución ha de ser también invariante frente a traslaciones (que, si el problema se realizase físicamente, corresponderían a variaciones en las posiciones relativas del observador y la circunferencia). Jaynes demuesta a continuación que ña aplicación de esta condición en la Ec. 5 conduce a que necesariamente q = 1, con lo que la solución queda determinada de forma única. Esta solución además resulta corresponder con la opción A de las tres consideradas inicialmente, y por lo tanto la probabilidad buscada es p = 1/2 y la aplicación correcta del Principio de Indiferencia resulta ser la planteada en esta opción A.
Como conclusión de su análisis, Jaynes enfatiza que para que un problema esté bien planteado, debe considerar, como habría dicho Keynes, toda la información relevante, información que Jaynes propone concretar identificándola con la necesaria e imprescindible para que las soluciones se puedan verificar experimentalmente. Así, por ejemplo, tras el análisis de Jaynes, el problema de las cuerdas del círculo resulta estar (sorprendentemente, según enfatiza Jaynes) bien planteado, y como tal tiene solución única; las soluciones alternativas propuestas por Bertrand (1889) son erróneas porque no consideran especificaciones del problema que están implícitas en su planteamiento. Además, esta solución es experimentalmente verificable: en su artículo, Jaynes afirma haber ejecutado esa verificación experimental trazando círculos en el suelo y arrojando varillas sobre ellos, lo que le ha permitido demostrar que la distribución de las cuerdas sigue su función f(r) y que la probabilidad buscada es efectivamente 1/2. Parece así alcanzarse una solución «feliz» a la paradoja, pero, lamentablemente, este no es el caso: autores más recientes sostienen que con argumentos similares a los planteados por Jaynes para defender la opción A puede llegarse también a las otras dos opciones (Drory, 2015).
Referencias
Bertrand, J. (1889), Calcul des probabilités. Paris: Gauthier-Villars.
Drory, A. (2015), Failure and uses of Jaynes’ Principle of Transformation Groups. Foundations of Physics, vol. 45;4, pp. 439-460
Jaynes, E. T. (1973), The Well-Posed Problem. Foundations of Physics, vol. 3, pp. 477-493.
Keynes, J. M. (1921), A Treatise on Probability. Londres: Macmillian&co. Reeditado por Wildside Press LLC (2010)
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.