El Principio de Indiferencia proporciona así, en determinadas circunstancias, un método a priori para asignar probabilidades a las proposiciones asociadas a un determinado sistema, dependiente únicamente de la estructura lógica de ese sistema; en rigor, puede decirse que, en la teoría de Keynes, el Principio de Indiferencia es el único método que puede proporcionar probabilidades numéricas. Sin embargo, la aplicación indiscriminada de este principio conduce en ocasiones a contradicciones.
Algunas de estas situaciones problemáticas eran ya conocidas cuando Keynes escribió A Treatise on Probability y Keynes las trata en su libro con cierto detalle. Una de las más simples es la que se podría denominar la «paradoja del color del libro»: supongamos que no hemos visto nunca un determinado libro y no sabemos de qué color son sus tapas. En estas condiciones, no tenemos mayores razones para pensar que las tapas son rojas que las que tenemos para pensar que no lo son; por lo tanto, en aplicación del Principio de Indiferencia se tiene P(rojo) = ½ y P(no rojo) = ½. Pero argumentos análogos llevan a P(azul) = ½, P(verde) = ½, etc.
Ante este problema (por llamarlo de alguna manera), la simple aplicación del sentido común lleva a constatar que la división original del espacio de probabilidades en {rojo, no rojo} era completamente arbitraria y que la «paradoja» se deriva exclusivamente de ella. Un planteamiento más apropiado, considerando por ejemplo todos los posibles colores en los que podrían haber sido teñidas las tapas según los colores de tinta disponibles para el editor, o considerando alguna división que abarque el espectro completo de los colores (planteamientos que, como puede apreciarse, requerirían la aplicación de cierto conocimiento adicional: en el primero, por ejemplo, de que el editor del libro solo fabrica tapas en un determinado conjunto de colores, y en el segundo de que los colores visibles pueden tratarse como radiaciones electromagnéticas de longitudes de onda comprendidas en un cierto intervalo) asegurarían al menos eliminar las contradicciones lógicas. El problema que afronta Keynes es cómo expresar formalmente estos dictados del sentido común de modo que resulten de aplicación general y permitan evitar paradojas similares en situaciones que resulten menos evidentes.
Para Keynes, la resolución de esta dificultad pasa por explicitar lo que hay en el Principio de Indiferencia de regla mecánica y lo que en cambio requiere de un ejercicio del juicio:
La enunciación de este principio, tal y como se hace habitualmente, enmascara, pero no elimina, el primer elemento [la necesidad de un juicio directo]. Es en parte una fórmula y en parte una apelación a una inspección directa, pero, además de la oscuridad y ambigüedad de la fórmula, la apelación a la intuición no es tan clara como debería.
Keynes, 1921, Cap. IV
En particular, el elemento de juicio directo radica en determinar lo que es una razón suficiente para poder afirmar que las probabilidades de una serie de alternativas han de ser diferentes, y lo que, en cambio, resulta irrelevante respecto de dichas probabilidades. Keynes afirma que la formulación del Principio, expresada en su formulación explícita en términos de indiferencia, requiere por lo tanto un juicio, no expresado con suficiente claridad, sobre la irrelevancia:
El Principio de Indiferencia trata de formular una regla que justifique juicios de indiferencia. Pero la regla de que no deben existir motivos para preferir una alternativa a otra implica, si ha de ser una tal regla de guía y no una simple petición de principio, una demanda de juicios de irrelevancia.
Keynes, 1921, Cap. IV
Cuando se comparan dos relaciones de probabilidad x/h, y/h, se habla de indiferencia cuando se puede afirmar x/h = y/h. En cambio, si se añade un hecho nuevo h1 a las premisas y se compara x/h con x/h1h, se está haciendo un juicio de la relevancia de ese hecho h1, o, si x/h = x/h1h, de su irrelevancia. La aplicación correcta del Principio de Indiferencia requiere que no se deje de lado ningún elemento conocido de las premisas que resulte relevante; así, en el ejemplo de los colores del libro, las contradicciones resultan de ignorar hechos relevantes conocidos, como los posibles colores en los que pueden estar impresas las tapas del libro o, en el límite, la naturaleza del color.
Considerando estos conceptos, Keynes propone una formulación más precisa del Principio de Indiferencia como sigue: para que en una determinada situación resulte aplicable el Principio de Indiferencia, no debe incluir en su planteamiento evidencia relevante que apoye a una de las alternativas a menos que haya evidencia equivalente para las otras; así, la evidencia relevante debe ser de algún modo simétrica e igualmente aplicable para todas las alternativas disponibles. Además, las alternativas en sí también deben ser simétricas en el sentido de que deben estar al mismo nivel, es decir, no deben combinar alternativas «simples» con otras «complejas» que podrían subdividirse en varias categorías simples que tuviesen la misma forma que las primeras. Con estos planteamientos, la contradicción de los colores se puede justificar como el resultado de poner en pie de igualdad las alternativas «rojo» y «no rojo» cuando la segunda se podría subdividir en varias categorías equivalentes en su natuuraleza a «rojo». Estas dos condiciones son, según Keynes, suficientes, pero no necesarias.
Como quizá puede adivinarse por la probable perplejidad que puede llegar a producir la lectura de los párrafos anteriores (y sin pretender con esto obviar la responsabilidad atribuíble a la falta de pericia del que escribe), las justificaciones que Keynes proporciona para estos argumentos y su formulación general no resultan particularmente claras. Según la interpretación de Russell (1948), para que el Principio de Indiferencia se pueda aplicar a dos alternativas y se tenga p/h = q/h, o, en términos de las funciones proposicionales de Russell, f(a)/h = f(b)/h (donde, en el ejemplo del color de los libros, f(x) podría ser ‘las tapas del libro son de color x’ y a, b dos posibles colores), los requisitos de Keynes indican que h debe ser simétrico respecto de a y b y f(a), f(b) deben ser «indivisibles». El primer requisito parece indicar que, si h = g(a,b), entonces g(a,b) = g(b,a). El segundo es, para Russell, un caso particular del primero, pues si no se cumple y por ejemplo a puede subdividirse en elementos más pequeños b,c…, h debería incluir la condición ‘b es parte de a’, que evidentemente no es simétrica y no verifica g(a,b) = g(b,a). De este análisis, Russell concluye que ambas condiciones se pueden condensar en una sola, que expresada en términos de funciones proposicionales reza:
f(a)/y(a) = f(b)/y(b) [Ec. 2.4]
Relación que pretende expresar que una determinada partición (siguiendo con el ejemplo de los libros, del tipo a = ‘azul’, b = ‘rojo’, c = ‘verde’, u otra alternativa) es apropiada para la aplicación del Principio de Indiferencia si siempre que se toman dos funciones proposicionales cualquiera definidas sobre los elementos de la partición (por ejemplo, f(x) = ‘las tapas del libro son de color x’, y(x) = ‘las paredes de la biblioteca son de color x’, u otras dos funciones cualquiera definidas sobre los colores), se verifica la relación expresada en la ecuación 2.4; o, como Russell intenta explicar un tanto crípticamente, si «resulta indiferente de qué se esté hablando» (Russell, 1948, parte V, cap. V). Podría decirse que las dificultades que encuentra a la hora de aclarar el sentido de los criterios de Keynes un autor por lo general extraordinariamente dotado para explicarse bien como Bertrand Russell, constituyen en sí mismas una prueba de que estos criterios son problemáticos.
Para concluir el tratamiento de esta cuestión abriendo una ventana a desarrollos más recientes, autores como Williamson (2018) consideran que los criterios de Keynes al principio de causa no suficiente originalmente planteado por Laplace y Leibniz, suponen la creación de una segunda variedad del Principio de Indiferencia, a la que en desarrollos posteriores de hecho se ha añadido una tercera. Así, siendo de nuevo h la evidencia disponible y Ω = {a,b,c…} las posibles alternativas, se tienen las siguientes formulaciones de este Principio:
PI1 Si h = Ø (es decir, no hay evidencia que conduzca a preferir una alterntiva sobre otras), entonces P(w) = 1/|Ω| para cada w ∈ Ω, siendo |Ω| el cardinal (número de elementos) de Ω (Formulación original de Laplace)
PI2 Si h es invariante bajo permutaciones de los w ∈ Ω, entonces P(w) = 1/|Ω| para cada w ∈ Ω (Regla de aplicación del Principio de Indiferencia de Keynes)
PI3 Si la asignación de probabilidad P(w) = 1/|Ω| para cada w ∈ Ω es consistente con h, entonces P(w) = 1/|Ω| para cada w ∈ Ω (Es decir, en ausencia de evidencia que exija una asignación concreta dada de las probabilidades, lo que volvería el Principio de Indiferencia inconsistente con ella, y si no hay ningún otro elemento de la evidencia h que lo haga inconsistente, entonces ha de adoptarse el Principio de Indiferencia; como se describirá en el Capítulo 4, esta es la formulación del Principio de Indiferencia que resulta del Principio Principal de la teoría subjetiva de Lewis)
Resulta además muy interesante que Williamson (2018) demuestre que considerando un sujeto que opere bajo los principios de la racionalidad epistémica, es decir, que sostenga únicamente creencias que sean compatibles con la evidencia de la que dispone, PI3 es la regla de atribución de probabilidades que conduce a las menores imprecisiones esperadas en el peor caso posible. Este resultado proporciona un encaje del Principio de Indiferencia en los postulados de racionalidad del sujeto de Keynes que supera el estatus un tanto excepcional del Principio de Indiferencia en su teoría original, al tiempo que tiende un puente entre esta teoría y la teoría de Ramsey que se considerará en el capítulo 4.
Queda pendiente la cuestión de cómo aplicar estos requisitos a las probabilidades continuas. Keynes propone aplicar el Principio de Indiferencia y sus requisitos a intervalos; por ejemplo, en un problema definido en términos de longitudes, a segmentos de una longitud determinada. Evidentemente, cada uno de estos segmentos siempre puede subdividirse, lo que parece oponerse al requisito de no divisibilidad de las alternativas, pero Keynes sostiene que en estas circunstancias la aplicación del Principio de Indiferencia debe entenderse como un proceso en el límite, con segmentos cuya longitud tiende a cero.
Esta solución resulta escasamente convincente para autores como Gillies (2000), que sostiene que tras este proceso en el límite ya no se sabe a qué se está aplicando el Principio de Indiferencia, ni qué probabilidades se están atribuyendo a las alternativas, pues, de llevarse a cabo la sugerencia de Keynes de forma rigurosa, se acabaría llegando a elementos infinitesimales cuya probabilidad es cero. Suárez (2020) considera también que la mala adecuación de la teoría de Keynes a los sistemas continuos es su principal carencia.
Referencias
Gillies, D. (2000), Philosophical theories of probability. Abingdon: Tylor & Francis Group.
Keynes, J. M. (1921), A Treatise on Probability. Londres: Macmillian&co. Reeditado por Wildside Press LLC (2010)
Russell, B. (1948), Human Knowledge: Its Scope and Limits. Londres: George Allen and Unwin Ltd. Edición en castellano de Ediciones Orbis (1983).
Suárez, M. (2020), Philosophy of Probability and Statistical Modelling, en Northcott, R. y Stegenga, J., eds., Elements in the Philosophy of Science. Cambridge: Cambridge University Press
Williamson, J. (2018), Justifying the principle of indifference. European Journal for Philosophy of Science, vol. 8, pp. 559-586.
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.