Pese a los intentos que en todas las épocas históricas y durante más de dos mil años se han hecho por descalificarlas como el mero producto de la ingenuidad o del desconocimiento de los más básicos principios de las matemáticas, las clásicas aporías con las que Zenón puso de relieve las inconsistencias en los conceptos de infinito y de continuo infinitamente dividible siguen siendo una inagotable fuente de perplejidad.
Contexto histórico
Como ocurre con muchos de los personajes de su época, sólo tenemos conocimientos muy fragmentarios de la biografía de Zenón de Elea, y mucho de lo que sabemos se reduce a anécdotas de dudosa autenticidad. Los principales datos conocidos sobre la vida de Zenón los proporciona Diógenes Laercio, en su obra Vida, opiniones y sentencias de los filósofos ilustres. También pueden extraerse algunos datos de los escritos de Aristóteles y Platón, si bien la información biográfica proporcionada por estas fuentes es limitada, puesto que el interés de Aristóteles y Platón era tratar los conceptos presentados por Zenón, y no presentar datos históricos o biográficos.
Por estas fuentes, se estima que Zenón nació en Elea en torno al año 490 a. C. Es posible que residiera durante algún tiempo en Atenas: algunos testimonios que lo sitúan como invitado de Pericles así lo sugieren, y su participación en el Parménides de Platón, que Zenón protagoniza junto con su maestro y un joven Sócrates, podría en cierta forma reforzar esta suposición. Muchos de los testimonios de Diógenes Laercio y otros historiadores antiguos se centran en las circunstancias de su muerte. Dichos historiadores coinciden en que murió de forma valerosa tras participar en una conspiración fallida contra un tirano de Elea, pero no hay acuerdo ni en el nombre del tirano en cuestión, ni en las circunstancias exactas de su muerte.
El papel que se le asigna convencionalmente a Zenón en la historia de la filosofía se corresponde con el que le proporciona Platón en su diálogo Parménides: el de un discípulo de Parménides, que irritado por las burlas que suscitan algunas de las ideas de su maestro entre sus oponentes, decide contraatacar mostrando que las ideas de estos oponentes conducen de hecho a absurdos y contradicciones aún más graves, mediante el planteamiento de sus famosas aporías. Desde este punto de vista, Zenón no habría generado ninguna aportación positiva, sino que su contribución se habría limitado a la defensa de los planteamientos de su maestro mediante la desacreditación de las ideas de sus oponentes. Esta es la postura que parece sostener Platón en una de las primeras páginas de su Parménides:
“Veo con claridad, Parménides, que entre Zenón y tú no sólo hay el lazo de la amistad, sino el de la doctrina: porque él expone poco más o menos las mismas cosas que tú, y sólo muda los términos y se esfuerza en persuadirnos de que lo que dice es diferente”
El propio Zenón admite en este diálogo que este punto de vista es correcto. Sin embargo, una primera indicación de que ya para Platón no se puede limitar el papel de Zenón tan sólo a esto, lo tenemos un poco más adelante en el diálogo, cuando Zenón califica sus argumentos como la obra de un joven entusiasta, e indica que el que se hayan publicado se debe a que se los robaron sin darle la oportunidad de valorar si era conveniente difundirlos. Esta afirmación parece indicar una evolución en el pensamiento y las aportaciones de Zenón, conocida por Platón, que llega más allá de su trabajo juvenil en las aporías.
Pero aun limitando las aportaciones de Zenón a sus aporías, debe señalarse su impacto no es en absoluto desdeñable. Aristóteles les dedica un amplio tratamiento en sus escritos sobre la Física, tratamiento que como se verá más adelante constituye una aportación fundamental al desarrollo de sus conceptos sobre el infinito. Tras él, innumerables pensadores se han visto cautivados por ellas; en tiempos más recientes, es conocido que Leibniz trabajó sobre ellas durante su desarrollo del cálculo infinitesimal.
En una primera aproximación, esta fascinación puede relacionarse con la solidez y la capacidad de persuasión de los argumentos de Zenón. Por estas cualidades, Aristóteles no vacila en designar a Zenón como creador de la dialéctica, del mismo modo que asigna a Empédocles la creación de la retórica. Esta afirmación es claramente exagerada, pues sin duda la dialéctica ya existía antes de Zenón, siendo los griegos particularmente afectos al razonamiento mediante la discusión y el diálogo, como es bien sabido. Sin embargo, es cierto que, con Zenón, la técnica de la dialéctica alcanza un notable grado de perfección, mediante el uso formalizado de los razonamientos por contradicción y reducción al absurdo, métodos que a día de hoy siguen plenamente vigentes y son una de las principales herramientas de razonamiento, por ejemplo, en la Lógica y en las Matemáticas. Este uso puede ilustrarse mediante uno de los primeros razonamientos presentados en el Parménides, el del argumento contra la pluralidad de los seres:
“Sócrates: ¿Cómo entiendes esto, Zenon? Si los seres son múltiples, es preciso que sean a la vez semejantes o desemejantes. Pero esto es imposible, porque lo que es desemejante no puede ser semejante, ni lo que es semejante desemejante. ¿No es esto lo que quieres decir?
Zenón: Sí.
Sócrates: Luego si es imposible que lo desemejante sea semejante y lo semejante desemejante, es también imposible que las cosas sean múltiples; porque si fuesen múltiples, se seguirían de aquí consecuencias absurdas”
Como en este texto no se explican las etapas intermedias del razonamiento, resulta bastante enigmático y difícil de entender la relación que implica que si los seres son “múltiples”, entonces también deban ser “semejantes o desemejantes”, pero puede verse la estructura del razonamiento: una hipótesis inicial: Los seres son múltiples, conduce a una contradicción: lo seres son a la vez semejantes y desemejantes, por lo que la hipótesis inicial debe descartarse pues conduce a un absurdo.
Las aporías, ¿ya superadas?
Una postura común es que, pese a este reconocimiento de la solidez de la estructura formal de los razonamientos de Zenón, se considere las aporías en cierta forma como una curiosidad histórica, unos problemas de cálculo ingenuamente planteados, apoyados en conceptos erróneos, en una época en la que las técnicas matemáticas no estaban suficientemente desarrolladas. Valga como ejemplo de esta postura una respuesta común a la “aporía de la dicotomía”. Plantea esta aporía que queremos recorrer una cierta distancia. Para ello, primero hay que recorrer la mitad de dicha distancia, luego la mitad de la mitad restante, luego la mitad de la mitad de la mitad… de forma que nunca se llega a completar el recorrido, pues se recorra lo que se recorra, siempre quedará un pequeño tramo por recorrer.
La que podría denominarse como “resolución matemática” de esta aporía se basa en la teoría matemática de las series infinitas. En efecto, el argumento de la dicotomía puede expresarse indicando que la distancia a recorrer puede descomponerse en una serie infinita de pequeños tramos, cada uno de los cuales es la mitad del anterior: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… Como demuestra el estudio de las series infinitas, existen casos en que dichas series pueden converger, o tener como suma un número finito, por más que dicho número se obtenga como la suma de infinitos términos. Esto ocurre cuando se reúnen una serie de condiciones, entre las que es condición necesaria que los sumandos se vayan haciendo progresivamente más pequeños, hasta tender a cero. Este es el caso de la suma que resulta del argumento de la dicotomía, que es una serie geométrica de razón 1/2, cuya suma vale 1:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… = 1
Resultado que concordaría con la experiencia cotidiana de que, en algún momento, se completa el recorrido. Este resultado no es en modo alguno nuevo. Ya Arquímedes lo obtuvo en torno al 250 a. C., aplicando el razonamiento de multiplicar cada término de la suma por (1 – 1/2), de modo que:
(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…) · (1 – 1/2) = 1/2 – 1/4 + 1/4 – 1/8 + 1/8 – 1/16 + 1/16… = 1/2
De modo que si (Suma)·(1 – 1/2) = Suma · 1/2 = 1/2, se sigue Suma = 1.
Una postura aún más radical considera las aporías de Zenón como ejemplos extremos de sofismas, sosteniendo que con ellas Zenón únicamente buscaba resaltar lo depurado de sus técnicas de argumentación, con las que trataba de enredar a sus oponentes proporcionando pruebas, supuestamente irrefutables, de conclusiones que por otra parte parecen manifiestos despropósitos. Tal sería el caso de la aporía de la dicotomía, con la que Zenón pretendería demostrar que no existe el movimiento, afirmación que parecería tan absurda que la mejor respuesta sería levantarse y caminar, como ya hizo Diógenes el Cínico, según cuentan las anécdotas.
Sin llegar a este extremo, en Aristóteles también pueden encontrarse rastros de esta opinión cuando califica a Zenón de “maestro de la Dialéctica”, y clasifica sus argumentos en la categoría de los razonamientos indirectos, peligrosamente próximos al sofismo. Posiblemente esta fuese de hecho la opinión inicial de Aristóteles, que en una primera aproximación analiza y refuta los puntos conflictivos de las aporías con aparente facilidad, particularmente en algunos casos como el de la “aporía del estadio”. Sin embargo, en otros casos, como el de la “dicotomía”, Aristóteles encontrará muchas más dificultades, que le harán revisar sus respuestas iniciales, y en este proceso depurar su pensamiento sobre el concepto de infinito, como se verá más adelante.
Como sostiene Gustavo Bueno, la notable perspicacia y profundidad de las aporías de Zenón hace difícil admitir que el mismo pensador que las desarrolló pretendiese en efecto defender la hipótesis de que las distancias nunca se recorren por completo, o que fuese simplemente un sofista que no quisiera reconocer lo que percibía. Más bien cabría encontrar en ellas una crítica a las concepciones sobre cuestiones fundamentales: espacio, tiempo y movimiento, continuidad e infinito. Serían estas concepciones las que están planteadas de forma ingenua, y no los razonamientos de Zenón, pues éstos simplemente ponen de manifiesto dificultades al aplicar estos conceptos básicos, que acaso obligan a replantearlos. Este es el punto de vista que predomina en el estudio moderno de las aporías de Zenón, que arranca, como se ha dicho, en su estudio por Leibniz durante su desarrollo del cálculo infinitesimal, y alcanza su máximo exponente en el tratamiento que de ellas realiza Bertrand Russell en su Principia Mathematica.
Las aporías no son problemas
Llegados a este punto, resulta útil plantear la distinción, propuesta también por Gustavo Bueno, entre aporías o cuestiones filosóficas, y problemas científicos. Un problema científico es una cuestión que aparece enmarcada e integrada en un cierto marco conceptual. Mediante el uso habilidoso de este marco conceptual, y partiendo de un planteamiento adecuado del problema, puede llegarse a una solución que resulte válida y coherente con los principios del marco conceptual en el que está integrada. En cambio, una aporía o cuestión filosófica tiene otra estructura. En ella, la cuestión no está constreñida a un marco conceptual dado, sino que remite al marco mismo, a los conceptos de base que lo sustentan.
Teniendo en cuenta esta distinción, resulta instructivo visitar nuevamente la “resolución matemática” de la aporía de la dicotomía. Tal resolución reescribe el argumento de Zenón en forma de una suma infinita.
Por definición, una suma infinita o serie converge a un determinado límite sí y solo sí la sucesión de sumas parciales asociada a la serie converge a ese límite. En el caso concreto de la serie asociada al argumento de Zenón, la sucesión de sumas parciales es:
1/2 = 0.5
1/2 + 1/4 = 3/4 =0.75
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 = 0.875
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16 = 0.9375
…
Esta sucesión de sumas parciales converge a 1 en el sentido de que, tomando suficientes sumandos, puede hacerse que la diferencia entre la suma obtenida y 1 sea tan pequeña como se quiera: con tres sumandos la diferencia es 0.125, con cuatro es 0.0625, etc.
A la vista de esta definición, los términos clave que deben considerarse y compararse son: “tan parecidos como se quiera” e “iguales”. Ambos términos no son en absoluto idénticos o intercambiables: una cosa es que dos elementos (por ejemplo, el número 1 y la serie infinita) sean enormemente parecidos; de hecho, tan parecidos como se desee hacerlos. Y otra cosa, muy distinta, es que los dos elementos sean absolutamente idénticos e indistinguibles y, por lo tanto (apelando a la “identidad de los indiscernibles” de Leibniz), sean en realidad un mismo y único objeto matemático. El cálculo matemático de los límites permite demostrar que se cumple la primera condición, pero no la segunda: como ya señaló Zenón, nadie ha podido ni podrá nunca completar la suma infinita para comprobar si en efecto suma exactamente 1 (y no 0. seguido de todos los 9 que se quiera) o no. Discusión que nos remite a la palabra con la que se comenzó esta breve digresión matemática: “por definición”.
En efecto, al declarar que la serie infinita suma 1 no se está presentando una demostración matemática, sino una definición. En las matemáticas actuales se admite este hecho por definición, pues admitir esta definición permite obtener un conjunto de resultados enormemente útiles y fructíferos. Pero que deba admitirse esta definición no es en modo alguno evidente o inmediato, y de hecho la discusión entre si esta definición debe o no aceptarse constituyó una de las facetas de uno de los episodios más relevantes en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, como se describirá brevemente más adelante: la disputa entre los intuicionistas y los formalistas.
Debe concluirse así que este planteamiento no supone una resolución a la cuestión filosófica planteada por Zenón, sino más bien una reformulación, que con su mayor precisión formal no hace sino presentar con mayor claridad las dificultades planteadas por Zenón.
El concepto de infinito en la Física de Aristóteles
En la respuesta de Aristóteles a Zenón, presentada en su Física, pueden distinguirse, como se ha indicado anteriormente, dos etapas. En una primera etapa, Aristóteles critica a Zenón por manejar unos conceptos de espacio, tiempo e infinitud que, en su opinión, son incorrectos. En efecto, por un lado Aristóteles distingue entre dos tipos de infinito: los infinitos por los extremos, tales como el que se presenta entre los extremos de una recta geométrica, a los que separa una distancia infinita; y los infinitos por división, como los que se dan entre los infinitos tramos en los que se podría dividir un segmento. Sostiene Aristóteles que si se trata de un infinito por extensión, es en efecto imposible recorrer tal infinito en un tiempo finito. Sin embargo, los infinitos que trata Zenón en aporías como la de la dicotomía son infinitos por división, y tales infinitos sí cabe recorrerlos en un tiempo finito. La cuestión, señala finalmente Aristóteles, es que Zenón no se percata de que al igual que un cierto tramo del espacio, representado por un segmento, es infinito por división, del mismo modo el tiempo también es infinito por división, con lo que:
“(…) es así que se recorre lo infinito en un tiempo infinito, y no en uno finito, y se tocan las infinitas posiciones en el espacio en momentos temporales infinitos, y no en momentos finitos”
Sin embargo, más adelante Aristóteles reconocerá la debilidad de este argumento: en efecto, es un argumento válido en el sentido dialéctico, en cuanto que proporciona una salida a la contradicción planteada en la aporía, pero sin firmeza, puesto que únicamente desplaza el problema del manejo de un ente continuo, el espacio, a otro ente continuo, el tiempo, al que mediante este razonamiento además se le exigen unas cualidades equivalentes a las del espacio, de manera que los infinitos elementos de uno y otro puedan, por así decir, “encajarse” y anularse los unos a los otros; cuestión que de hecho parece más problemática que el mismo problema inicial que se pretendía resolver.
“En efecto, si se prescinde de la extensión y de preguntar si es posible recorrer partes infinitas en un tiempo infinito, y se indaga esto sobre el tiempo mismo (pues el tiempo contiene infinitas divisiones), ya no será suficiente esta solución”
Por ello, en una segunda fase, y tras reconocer la invalidez de su primera refutación, Aristóteles plantea una nueva refutación bastante más profunda, para lo que se sirve de dos de sus conceptos metafísicos fundamentales: la potencia y el acto.
En esencia, Aristóteles plantea que las magnitudes continuas como el espacio pueden dividirse indefinidamente en trozos cada vez más pequeños, pero que nunca puede existir una colección infinita de tales trozos como entidad real. Para describir su razonamiento, supongamos que tomamos el segmento y realizamos la división inicial en dos mitades. Tenemos ahora dos entidades discretas, ambos trozos del segmento, cada una de las cuales es continua y por tanto susceptible de ser dividida nuevamente. Podemos repetir nuevamente el proceso y obtener nuevas colecciones discretas de trozos de segmentos continuos; pero este proceso no se puede culminar nunca, pues si se hiciese, no se tendría ya una magnitud continua, sino únicamente una colección de entidades discretas. Así, la infinitud de esta secuencia de divisiones sobre un ente continuo se manifiesta en que siempre es posible continuar realizándola: es una propiedad futura inalcanzable, no un rasgo con existencia presente. Por lo tanto, la infinita divisibilidad del continuo está meramente en potencia, y no puede nunca llevarse a cabo en acto:
“Con esta división sin embargo no será ya un continuo, ni una línea, ni un movimiento: un movimiento continuo pertenece al continuo, y en el continuo existen infinitas mitades, pero no en acto sino tan sólo en potencia”
El infinito en acto y en potencia a lo largo de la historia
Los conceptos de Aristóteles y su negación del infinito en acto han mantenido su vigencia durante siglos y la mantienen en la actualidad. Como ejemplo de esta vigencia, puede mencionarse la conocida “paradoja de Galileo”: tomemos los números 1,2,3,4… y entre ellos, los números cuadrados: 1,4,9,16… Por el principio aristotélico (y, podría decirse, del sentido común) de que la parte es menor que el todo, debe haber menos números cuadrados que números. Sin embargo, puede hacerse una correspondencia biunívoca (o en términos matemáticos, biyectiva) entre ambos conjuntos: 1 con 1, 2 con 4, 3 con 9… que hace que a cada número de la primera secuencia corresponda exactamente uno de la segunda, y viceversa. Por tanto, si estas secuencias infinitas tuviesen existencia real, en acto, habría que concluir que hay exactamente tantos números cuadrados como números de cualquier tipo (cuadrados y no cuadrados). Aplicando una estructura de razonamiento de contradicción-absurdo análoga a la de Zenón, Galileo concluye que esta contradicción refuerza la tesis aristotélica de que el infinito en acto es absurdo.
Este ha sido el orden de las cosas hasta que, a finales del siglo XIX e impulsado por sus estudios sobre la teoría de conjuntos, Cantor decide tomar exactamente la opción inversa: el infinito en acto existe; por tanto, hay tantos números cuadrados como números en total, pues puede establecerse una relación biyectiva entre ambos conjuntos; ambos conjuntos tienen efectivamente el mismo cardinal (infinito). Este cambio de punto de vista produjo un aumento enorme de la potencia de la teoría de conjuntos y de las matemáticas, pero con un coste: aplicando los conceptos de Cantor, los conjuntos infinitos definidos de forma autorreferente pueden conducir a paradojas irresolubles, como señaló Russell. De ahí se derivó la llamada “crisis de los fundamentos”, con la oposición entre la escuela intuicionista, que propugnaba la vuelta a los puntos de vista de Aristóteles, y la formalista, que pretendía salvar los avances obtenidos desde Cantor. Este enfrentamiento finalmente condujo a la propuesta de Hilbert de admitir como válidos únicamente los razonamientos que pudiesen verificarse de forma algorítmica en un tiempo finito. Y, tras todo ello, el conocido epílogo de los teoremas de incompletitud de Gödel, que establecen que, si sólo se admiten como válidas las demostraciones que puedan verificarse del modo propuesto por Hilbert, nuestro conocimiento será siempre incompleto, pues siempre existirán proposiciones verdaderas que sin embargo no podrán demostrarse.
Cerrando esta parte de la discusión con una vuelta a Grecia (aunque ya en época helenística), debe reseñarse que la admisión del infinito en acto y su aplicación en matemáticas ya había sido anticipada por Arquímedes. En efecto, Arquímedes aplicaba un método para calcular superficies y volúmenes que consistía en seccionarlos en infinitos segmentos o láminas, que a continuación se pudiesen comparar con los obtenidos de una superficie o volumen conocidos. Si podía establecerse una relación uno a uno entre ambos conjuntos de trozos, entonces la superficie o volumen que se quería calcular debía ser igual a la del cuerpo conocido. No fue esta su única idea novedosa, pues Arquímedes también fue pionero en la aplicación de razonamientos físicos (derivados de sus conocimientos sobre cuestiones como las leyes de la palanca o de los centros de la gravedad), a la resolución de problemas matemáticos. Si se contrasta esta metodología con las ideas platónicas o incluso aristotélicas dominantes en su época, que ubicaban la física en el ámbito de actuación de la opinión, ciertamente diferente del de disciplinas en las que sí cabía verdadero conocimiento científico como era el caso de las matemáticas, hay que reconocer en Arquímedes una notable rebeldía intelectual. Sin embargo, estos procedimientos de Arquímedes permanecieron ocultos y desconocidos hasta que se recuperaron en un palimpesto, descubierto en Constantinopla a finales del siglo XIX. Para entonces, argumentos muy similares habían sido propuestos de forma independiente por otras personas.