Con lo establecido hasta este punto, se tiene un procedimiento que permite evaluar numéricamente las probabilidades. Pero este procedimiento podría ser compatible con una colección puramente arbitraria de valores numéricos, que no necesariamente tendrían que cumplir con los requisitos que se exigen a una probabilidad en el sentido matemático.
Sin embargo, uno de los resultados más notables de la teoría de Ramsey es el que permite asegurar que las probabilidades proporcionadas por su método de «medición psicológica» en efecto cumplen los requisitos establecidos por los axiomas de la teoría de la probabilidad, sin más que exigirles una propiedad adicional. Esta propiedad agrega a los sentimientos y creencias de Ramsey un elemento de racionalidad, pero que resulta mucho menos exigente que el de la racionalidad intuitiva y universal que contemplaba la teoría de Keynes: Ramsey exige que los sujetos, como individuos racionales, además de actuar de modo que maximizan su ganancia/utilidad, deben ser coherentes en su asignación de las probabilidades, en el sentido de que su asignación no debe hacerlos vulnerables a los conocidos como ataques de succión financiera o «libros holandeses» (Dutch books)
Un libro holandés es una estrategia de apuestas que proporciona al que la ejecuta ganancias aseguradas, sea cual sea el curso de los eventos. Así, supóngase que al establecer las probabilidades, el sujeto debe considerar una colección de eventos E1, E2 … En, tal que {E1, E2… En} = Ω (el evento seguro); en el caso más sencillo, el universo estará constituido por dos eventos E1 y E2: el lanzamiento de la moneda produce cara o cruz, un determinado evento ocurre o no, etc. En estas circunstancias, el requisito de coherencia exige que el sujeto asigne las probabilidades de modo que alguien que apueste contra él no tenga ganancias aseguradas sea cual sea el curso de los eventos: tanto si sale cara como si sale cruz al lanzar la moneda, por ejemplo, o en todos y cada uno de los Ei, en el caso general.
En una de esas curiosas coincidencias que en ocasiones tienen lugar en el desarrollo de las matemáticas en particular, y de la ciencia en general, el teorema que muestra este resultado fue probado de forma casi simultánea por Ramsey y por el matemático italiano Bruno de Finetti. De Finetti publicó sus resultados en 1930, algunos años después de que Ramsey escribiera su Truth and Probability, datado en 1926, pero puesto que los trabajos de Ramsey se publicaron póstumamente, en 1931, De Finetti no tuvo conocimiento de ellos mientras desarrollaba su propio trabajo. En realidad, De Finetti no conocía ni siquiera los trabajos anteriores de Keynes, pues, según su testimonio, su destreza muy insuficiente con el idioma inglés le impidió leerlos hasta que se publicó una traducción al alemán (Gillies, 2000). Resulta así muy interesante que, teniendo en este aspecto condiciones de partida tan diferentes, Ramsey y De Finetti acabaran llegando a unas propuestas tan convergentes, como la consideración de la probabilidad como medida de las creencias, la prueba de la suficiencia del requisito de coherencia, con justicia conocida como Teorema de Ramsey – De Finetti, o incluso el método de las apuestas para determinar probabilidades. En otros aspectos, existen diferencias sustanciales entre sus planteamientos, como se verá en las siguientes secciones.
Siguiendo la exposición de Gillies (2000) y Mellor (2005) de la formulación original del Teorema de Ramsey – De Finetti (en Vélez Ibarrola, 2012, puede encontrarse un tratamiento más actualizado de esta cuestión), considérese que dos individuos A y B realizan apuestas sobre una serie de eventos {E1, E2… En} = Ω. Para cada Ei, B elije una cuota qi y a continuación A establece una apuesta Si, que es la cantidad que abonará si se verifica Ei. De este modo, qi es la cuota a la que B está dispuesto a comprar la apuesta Si de A; así, para cada evento Ei, B obtiene las ganancias indicadas en la Tabla 4.1 en función de que el evento se verifique o no:
| Ei | Pago |
| Verdadero | Si – qiSi = (1-qi) Si |
| Falso | -qiSi |
Es decir, si Ei tiene lugar, B obtendrá la ganancia neta Si-qiSi, restando a la ganancia Si generada por la apuesta el pago que hizo para adquirirla, y si Ei no tiene lugar, B perderá qiSi, que es el pago que efectuó para adquirir la apuesta. A, a su vez, obtiene las pérdidas y ganancias opuestas.
Es importante resaltar que B no conoce Si en el momento de establecer su cuota. En particular, no sabe si es positiva o negativa, pues si supiese que Si > 0, le interesaría establecer un qi muy bajo (incluso negativo), que maximizaría las ganancias en caso de ser Ei verdadero y minimizaría las pérdidas (o incluso las transformaría en ganancias) en caso de ser Ei falso; y viceversa, si Si < 0 le interesaría un qi muy alto (un Si negativo indica que A apuesta en contra de la ocurrencia del evento Ei, revirtiendo así los signos de los pagos de la matriz de la Tabla 4.1). Sin tener este conocimiento, a B le interesa establecer qi que reflejen de forma fiel sus verdaderas creencias en las posibilidades de que ocurran los eventos Ei, que de este modo conducen a unas ganancias (o pérdidas) esperadas nulas: siendo pi creencia de B en que ocurra el evento Ei, se tiene Gi = pi·(1-qi)·Si – (1-pi)·qi·Si, que se anula si pi = qi.
El requisito de coherencia exige además que B asigne las cuotas qi de modo que no le hagan vulnerable a un libro holandés: que A no tenga ganancias aseguradas ocurra el Ei que ocurra (nótese que este requisito exige impedir que A tenga ganancias netas en todos y cada uno de los posibles escenarios Ei, no que tenga una ganancia esperada positiva; tal situación podría ocurrir, desde el punto de vista de A, si sus estimaciones de probabilidad qi difieren de las de B). En estas condiciones, el Teorema de Ramsey – De Finetti prueba que los qi verifican los axiomas de la teoría de la probabilidad:
(A1) P(Ω) = 1 y 0 ≤ P(Ei) ≤ 1
Coherencia → A1: Intuitivamente, las pruebas de este axioma expresan que nadie compraría una apuesta por un precio superior al mayor beneficio que podría obtener con ella. Así, si B elije q(Ω ) > 1, y puesto que Ω es una tautología (es decir, se verificará necesariamente), A tendría ganancias aseguradas realizando una apuesta S > 0, que serían G = q·S – S = (q – 1)·S > 0. De igual modo, si B elije q(Ω ) < 1, A tiene ganancias aseguradas con S < 0. Por lo tanto, ha de ser q(Ω ) = 1.
Si B elije q(Ei) < 0, A tiene ganancias aseguradas con Si < 0: si Ei ocurre, recibirá la ganancia (qi – 1)·Si (positiva por ser ambos factores negativos), y si no ocurre, la ganancia qiSi (nuevamente positiva por ser el producto de dos factores negativos). Del mismo modo, si B elije q(Ei) > 1, A tiene ganancias aseguradas con Si > 0. Por tanto, debe verificarse 0 ≤ q(Ei) ≤ 1.
A1 → Coherencia: si B elije q(Ω) = 1, sea cual sea S, la apuesta pasará de manos de A a B y de vuelta a A sin que ninguno de los dos consiga ganancias. Si 0 ≤ q(Ei) ≤ 1, no hay valor o signo de S que asegure ganancias a A.
(A2) P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1 (Axioma de la suma)
Coherencia → A2: Si ocurre un evento cualquiera Ei, las ganancias de A son:
Gi = q1S1 + … + qnSn – Si [Ec. 4.7]
Supongamos que A hace S1 = S2 = … = Sn = S. Entonces:
Gi = S (q1+ … + qn – 1) [Ec. 4.8]
Así, si B elige q1 + … + qn > 1, A tiene ganancia asegurada con S > 0, y con q1 + … + qn < 1, A tiene ganancia asegurada con S < 0. Por tanto, ha de ser q1 + … + qn = 1.
A2 → Coherencia: Por A2 se verifica q1 + … + qn = 1. Multiplicando por qi en ambos lados de la ecuación 4.7 se tiene:
qiGi = qi(q1S1 + … + qnSn) – qiSi [Ec. 4.9]
Y sumando todos los i:
q1G1 + q2G2 + … + qnGn = 0 [Ec. 4.10]
Ecuación que indica que no todos los Gi pueden ser positivos, pues todos los qi lo son.
(A3) P(E & F) = P(E|F)·P(F) (Axioma de la multiplicación)
Este axioma hace uso de las probabilidades condicionadas P(E|F), que en un contexto de apuestas puede interpretarse como una apuesta E condicionada por F, es decir, que solo se llevará a cabo si se verifica F; en caso contrario, no se efectuará ningún pago. Con esto, en la demostración se emplea la siguiente notación:
q = q(E&F) [Ec. 4.11]
q’ = q(E|F) [Ec. 4.12]
q’’ = q(F) [Ec. 4.13]
Coherencia → A3: En función del curso de los eventos, las ganancias de A vienen dadas por las siguientes ecuaciones:
Ocurren E y F: G1 = (q – 1) S + (q‘- 1) S’ + (q’’ – 1) S’’ [Ec. 4.14]
E no ocurre, pero F sí: G2 = qS + q’S’ + (q’’-1) S’’ [Ec. 4.15]
F no ocurre (y la apuesta E|F se cancela): G3 = qS + q’’S’’ [Ec. 4.16]
Para obtener unas ganancias G1, G2, G3 > 0, todas positivas, dadas, A debe establecer apuestas S, S’, S’’ que se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales establecido por las ecuaciones 4.14, 4.15 y 4.16. Para que tal sistema sea compatible, el determinante de sus coeficientes no debe ser nulo; por tanto, B puede impedir que exista un libro holandés que proporcione siempre ganancias a A haciendo nulo el determinante:
[Ec. 4.17]
Lo que conduce a la siguiente condición:
q = q’ q’’ [Ec. 4.18]
A3 → Coherencia: Las ganancias esperadas de A son:
G = l1G1 + l2G2 + l3G3 [Ec. 4.19]
Donde, aplicando el axioma de la multiplicación, l1 = q’q’’, l2 = (1-q’) q’’, l3 = 1-q’’, que, por ser 0 ≤ q’, q’’ ≤ 1, son todos positivos.
Sustituyendo ahora estos li y las ec. 3.14, 3.15 y 3.16 en la Ec. 3.19, y realizando operaciones de álgebra elemental, se llega a G = 0. Por lo tanto,
0 = l1G1 + l2G2 + l3G3 [Ec. 4.20]
Y al ser todos los li positivos, no todos los Gi pueden serlo.
Con esto se concluye la exposición de la demostración original del Teorema de Ramsey – de Finetti, que constituye uno de los mayores logros de la teoría subjetiva de la probabilidad.
Referencias
Gillies, D. (2000), Philosophical theories of probability. Abingdon: Tylor & Francis Group.
Mellor, H. (2005), Probability: A Philosophical Introduction. Londres: Routledge.
Ramsey, F. P. (1926), Truth and Probability, en The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, editado por R. B. Braithwaite (1931). Londres: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Reeditado por Martino Publishing (2013)
Ramsey, F. P. (1928), Further Considerations, en The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, editado por R. B. Braithwaite (1931). Londres: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Reeditado por Martino Publishing (2013)
Ramsey, F. P. (1929), Last Papers, en The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, editado por R. B. Braithwaite (1931). Londres: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Reeditado por Martino Publishing (2013)
Vélez Ibarrola, R. (2012), Introducción a la Teoría de la Decisión. Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia.