El Blog de Alerce

La colaboración del antropólogo Claude Lévi-Strauss y el matemático André Weil produjo una de las aportaciones más útiles y originales de la historia de la Antropología y las Matemáticas: el tratamiento de las relaciones de parentesco mediante la teoría de grupos.

El Estructuralismo en la Antropología Social

Pese a ser una disciplina relativamente joven, cuyo nacimiento difícilmente puede situarse antes del siglo XIX, la Antropología Social ha recorrido procedimientos y corrientes de opinión notablemente divergentes [1]. Este texto se centra fundamentalmente en la corriente estructuralista, uno de cuyos principales representantes es el antropólogo francés Claude Lévi-Strauss.
Uno de los postulados principales de Lévi-Strauss es que si bien las diferentes sociedades y culturas humanas muestran enormes diferencias, todas ellas están edificadas sobre unos ciertos rasgos de la naturaleza humana que son, en esencia, invariantes. Lévi-Strauss se refería a estos rasgos invariantes como “elementos estructurales” de las culturas humanas, y sostenía que mediante un análisis suficientemente detenido y detallado podía hallarse su rastro y su influencia en cualquier cultura.
Ciertamente, este estudio no es sencillo, pues Lévi-Strauss opinaba que en muchas ocasiones la influencia de estos rasgos estructurales permanece oculta e indescifrable incluso para los mismos sujetos de la cultura sobre los que operan. Por ello, Lévi-Strauss creía que la Antropología debía adoptar nuevos métodos de trabajo, que complementaran a las técnicas de “Trabajo de Campo” que habitualmente se asocian con la Antropología, y que en opinión de Lévi-Strauss frecuentemente solo llegaban a un estudio de tipo descriptivo e interpretativo de los testimonios de los sujetos de la cultura analizada. Con esta incorporación de otras técnicas que acercaran a la Antropología a otras disciplinas científicas, se trataría de acceder a los elementos estructurales ocultos que operan sobre las culturas.
El primer trabajo en el que Lévi-Strauss aplicó estas ideas es precisamente el que se analiza en este texto: “Las Estructuras Elementales del Parentesco” [2]. En este libro, Lévi-Strauss profundiza sobre las reglas que regulan las relaciones de “matrimonio” (entendido, de forma amplia, como la unión de individuos de una sociedad para formar una unidad familiar). Esta es una cuestión de notable importancia, puesto que estas relaciones no solo determinan la estructuración de una sociedad, sino que además constituyen una herramienta fundamental para establecer relaciones y alianzas entre diversas sociedades o clanes.
Cuando Lévi-Strauss inició su trabajo, las relaciones matrimoniales y de parentesco se estudiaban mediante herramientas sencillas como los árboles genealógicos. Estas herramientas presentaban el notable inconveniente de que a poco compleja que fuera la sociedad analizada, se complicaban enormemente, como atestigua el ejemplo proporcionado por Lévi-Strauss para la tribu dieri de Australia que se reproduce a continuación [2]:

Dada la evidente dificultad en el manejo de este tipo de esquema en forma de árbol genealógico, que hace difícil obtener de él cualquier tipo de conclusión, no son extraños los testimonios un tanto derrotistas de antropólogos como Elki, que declara: “En general, el estudio del elemento puramente formal de los sistemas de parentesco australianos no merece emprenderse (…) Después de todo, no aporta mucha satisfacción ni proporciona una comprensión real de la vida de la tribu” [3].
Frente a estas opiniones, Lévi-Strauss se propuso precisamente emprender este estudio formal que pudiera llegar a los aspectos que se “ocultan” entre las ramas de los árboles genealógico. Para ello, y tras consultar cerca de 7000 trabajos científicos, como relató en alguna ocasión [4], decidió que necesitaba la ayuda de un matemático. En primer lugar se dirigió a Jacques Hadamard, pero este demostró poco interés por la propuesta de colaboración, contestando: “En matemáticas se conocen únicamente cuatro operaciones, y el matrimonio no es una de ellas”. Por fortuna, en su segundo intento recibió una respuesta más positiva del matemático también francés André Weil, conocido entre otras cosas por ser uno de los miembros fundadores del grupo Bourbaki. El resultado sería la tesis doctoral de Lévi-Strauss, “Las Estructuras Elementales del Parentesco”. A continuación se describen brevemente los resultados de esta colaboración.

Las sociedades elementales
Las sociedades analizadas por Lévi-Strauss y Weil atienden a una serie de supuestos de simplificación por los que vienen en denominarse “sociedades elementales”. Estos supuestos establecen que en este tipo de sociedades cada individuo tiene un tipo de matrimonio determinado de forma unívoca, por lo que podría decirse que la elección del tipo de matrimonio es automática en función de una serie de factores, como se especificará más adelante. Por el contrario, podrían denominarse “sociedades complejas” a sociedades como la nuestra, en la que la elección del matrimonio es un asunto muy complejo en el que intervienen multitud de factores, y en el que en todo caso las reglas únicamente determinan qué tipos de matrimonios no están permitidos (como sería el caso de las leyes sobre el incesto, por ejemplo).
Volviendo a las sociedades elementales, supongamos que deseamos analizar una sociedad que está estructurada en una familia de clanes o estratos sociales C = {C₁…C_n}, de forma que el objeto de nuestro estudio es la forma en que se regulan y establecen las uniones matrimoniales entre estos clanes. Los supuestos que definen las sociedades elementales se formalizan en una serie de tres hipótesis. La primera de ella expresa lo siguiente:

Hipótesis 1: Todos los miembros de la sociedad pueden casarse, y a cada miembro de la sociedad le corresponde un único tipo de matrimonio.

Dada una sociedad con n clanes, esta hipótesis implica que existen exactamente n tipos de matrimonio. En efecto, si existiesen n-1 tipos, los miembros de uno de los clanes no tendrían ninguna posibilidad de matrimonio, y si existiesen n+1 tipos, para alguno de los clanes existirían dos posibles formas de matrimonio, con lo que la forma de matrimonio no estaría unívocamente determinada.

Por concretar el significado de esta hipótesis con un ejemplo, considérese el caso de una sociedad con 4 clanes, C = {C₁, … C₄}, propuesto por Weil en su Apéndice al volumen I de “Las estructuras elementales del parentesco” [2]. Para cumplir la hipótesis 1, deben definirse cuatro reglas de matrimonio, M = {M₁,… M_4}, de forma que a los hombres de cada uno de los clanes les corresponda una y solo una regla, e igualmente la regla correspondiente a las mujeres de cada clan sea única. Naturalmente, existen múltiples formas de definir reglas válidas de acuerdo a esta hipótesis, entre las cuales una particularmente interesante es la que se explica a continuación:

El interés de este caso radica en que se corresponde con lo que en Antropología se denomina un sistema de “Intercambio Generalizado”, pues ningún clan intercambia de forma exclusiva sus miembros con algún otro clan (lo que ocurriría por ejemplo si los hombres de C₁ se casasen con las mujeres de C₂ y las mujeres de C₂ con los hombres de C₁). Esta situación de Intercambio Generalizado es de interés como caso límite en el estudio de las relaciones de reciprocidad entre sociedades.
Se enuncia a continuación la segunda hipótesis que define a las sociedades elementales:

Hipótesis 2: El tipo de matrimonio de cada individuo depende únicamente de su sexo y del tipo de matrimonio de sus padres.

En términos más formales, esta hipótesis equivale a decir que dada una pareja de progenitores cuyo tipo de matrimonio es M_i, el tipo de matrimonio de sus hijos puede determinarse mediante una aplicación f: M → M, mientras que el de sus hijas viene determinado por otra aplicación g: M → M, que podría ser o no la misma que f. Además, la combinación de la hipótesis 1 con la hipótesis 2 establece que estas aplicaciones deben ser biyectivas, pues de no serlo alguno de los tipos de matrimonio desaparecería de la sociedad pasada la primera generación, dejando a algunos de los miembros de la sociedad sin posibilidades de casarse, y por lo tanto no podrían satisfacerse las condiciones establecidas en la hipótesis 1.

Así, con el análisis de estas dos hipótesis se puede ir perfilando la aplicación de la teoría de grupos a esta situación: en efecto, f y g resultan ser elementos del grupo simétrico (en este ejemplo concreto, del grupo simétrico de cuatro elementos, S₄), y como es habitual en teoría de grupos pueden representarse mediante una tabla de permutaciones. Así, para el ejemplo propuesto anteriormente, supongamos que f y g se definen estableciendo que los hijos e hijas de una madre C₁, C₂, C₃, C₄ pertenecen al clan C₂, C₃, C₄, C₁ respectivamente. En estas condiciones es fácil obtener la siguiente tabla:

Donde por ejemplo, la primera columna se obtiene observando que según hemos definido las reglas de matrimonio, M₁ corresponde a un matrimonio de un hombre del clan C₁ con una mujer del clan C₂, de forma que por la definición de f su hijo pertenece al clan C₃, al que por la definición de las reglas de matrimonio le corresponde la regla M₃.
Para completar las hipótesis que definen una sociedad elemental únicamente resta establecer una tercera hipótesis. Aunque en una primera aproximación esta hipótesis parece un tanto arbitraria y enigmática, una breve inspección de su significado pronto revelará su importancia:

Hipótesis 3: Cualquier hombre (de cualquier clan) puede casarse con la hija del hermano de su madre

En la terminología de la literatura antropológica, esta hipótesis se expresa señalando que se permiten los matrimonios entre primos cruzados, siendo los primos cruzados los hijos de hermano y hermana, y los paralelos los descendientes de dos hermanos o dos hermanas.
Para formalizar el significado de esta hipótesis, conviene remontarse a dos generaciones atrás a la pareja en cuestión entre un hombre y una de sus primas (cruzadas). Si los abuelos de nuestros sujetos se regían por un matrimonio de tipo M_i, su hija (la madre de nuestro sujeto) se debe regir por el matrimonio g(M_i), y su hijo(el hermano de la madre de nuestro sujeto) por f(M_i). Por lo tanto, el hijo de la hija de los abuelos (nuestro sujeto) se rige por f◦g(M_i), y la hija del hijo de los abuelos (la prima de nuestro sujeto) por g◦ f(M_i). Que estas dos personas puedan casarse implica que se rigen por la misma regla de matrimonio, de modo que f◦g(M_i) = g◦ f(M_i). Es decir, la hipótesis 3 implica que los elementos f y g deben conmutar. Con ello resulta patente la importancia de establecer la hipótesis 3, pues como resultado la estructura que generan f y g es un grupo abeliano, lo que como es evidente potencia enormemente el estudio al poderse aplicar los resultados relativos a la estructura y propiedades de tales grupos.
Queda con esto completado el formalismo que permite aplicar las herramientas de la Teoría de Grupo al análisis de las estructuras elementales de parentesco: para analizar estas estructuras, basta con analizar las aplicaciones f y g, pues de ellas se puede derivar un conocimiento completo de las formas posibles de matrimonio y parentesco que se pueden dar en la sociedad. Tales aplicaciones son elementos del grupo simétrico S_n, y además deben ser conmutativas. Por lo tanto el objeto de nuestro estudio es el grupo abeliano conmutativo, subgrupo de S_n, que es generado por dos elementos de S_n: f y g.
Antes de continuar con nuestra exposición, hagamos una rápida comprobación de que el sistema de intercambio generalizado descrito en la tabla de permutaciones anterior cumple con el requisito de conmutatividad de f y g. En efecto, es inmediato obtener:

Tras comprobar que nuestro ejemplo de trabajo cumple con todos los supuestos que permiten identificarlo como un grupo abeliano finito con dos generadores (f y g), resulta particularmente útil aplicar el teorema de estructura de grupos abelianos, que como es sabido establece que dichos grupos son producto directo de grupos cíclicos:

El cual se puede particularizar para nuestro caso como sigue:

Corolario al Teorema de Estructura de Grupos Abelianos: Un grupo abeliano finito generado por dos elementos es cíclico o producto directo de dos grupos cíclicos

En nuestro caso, un cálculo sencillo muestra:

Luego este ejemplo corresponde al primero de los casos posibles establecidos por el Teorema de Estructura.
Cabe plantearse la pregunta de si las hipótesis establecidas para definir las sociedades elementales permiten el otro caso, a saber, que el grupo sea producto directo de dos grupos cíclicos. Un ejemplo sencillo permite demostrar que en efecto esto es posible. Consideremos el siguiente conjunto de reglas:

El estudio de este ejemplo es interesante pues, en contraste con el primer ejemplo, correspondería a una situación de “intercambio restringido”, pues los clanes 1 y 4 intercambian sus integrantes, al igual que los 2 y 3. Supongamos a continuación que las aplicaciones f,g se definen estableciendo que los hijos de una madre del clan C₁,C₂,C₃,C₄ pertenecen al clan C₂,C₁,C₄,C₃ respectivamente. Con ello, f y g pueden describirse mediante la siguiente tabla de permutaciones:

A partir de esta tabla, un cálculo sencillo muestra que f y g son conmutativos. Sin embargo, en este caso, tanto f como g son de orden dos, y por ello el subgrupo que generan es el producto de dos grupos cíclicos. De hecho, en este caso f y g generan el grupo de Klein, que entre otras aplicaciones permite describir las simetrías de un rombo.

La reducibilidad de las sociedades
Habiendo establecido el formalismo de las relaciones de parentesco, este formalismo puede emplearse para obtenerse resultados de utilidad práctica. Entre ellos, un dato de gran interés consiste en establecer si la sociedad analizada es reducible.
Se dice que una sociedad es reducible si en ella se pueden encontrar subpoblaciones que se mantienen aisladas del resto, es decir, que solo contemplan matrimonios entre miembros de dicha subpoblación, sin que estén permitidos los matrimonios externos a ella. De lo contrario, la sociedad se denomina irreducible. Determinar las sociedades irreducibles en las que se puede descomponer una cierta sociedad es una cuestión de gran interés, porque de este modo el estudio se puede descomponer en una serie de estudios de menor tamaño, y por lo tanto más manejables. En algunos casos, la determinación de tales subgrupos irreducibles es sencilla: piénsese por ejemplo en el caso de las castas de la sociedad tradicional india, que resultan evidentes sin necesidad de ningún tipo de estudio matemático formal. Sin embargo, en otros casos, un conjunto de reglas de parentesco que aparentemente favorecen la exogamia entre las diferentes castas o clanes de la sociedad, en realidad encierran múltiples sub-grupos aislados, cuya dependencia de las reglas de parentesco no es evidente.
En estos casos, resulta útil aplicar otro concepto de la teoría de grupos: la transitividad. Se dice que un subgrupo G es transitivo si la órbita de un elemento x de un conjunto X es igual al conjunto completo X, siendo la órbita del elemento x el conjunto de valores de X que pueden obtenerse cuando los elementos del grupo G actúan sobre x. Entre los ejemplos analizados, el correspondiente al sistema de intercambio generalizado presentado en la Tabla 1 constituye un subgrupo transitivo: en efecto, tomemos el elemento M₁. Es inmediato comprobar que aplicando f=g² sobre M₁ obtenemos M₃ y que aplicando g obtenemos M₂. Por último, aplicando g◦f=g³ se llega a M_4. Además, que el grupo sea transitivo implica que se puede llegar a cualquier M_i desde cualquier M_j: tomando las rutas que conectan M₁ con los diversos elementos que acaban de describirse, bastaría aplicar la ruta inversa que lleva desde M_i a M₁, para a continuación aplicar la ruta que lleva de M₁ a M_j. Esto implica que en esta sociedad siempre puede llegarse a cualquier regla de matrimonio M_j desde una regla de matrimonio M_i en un número finito de generaciones.

Por el contrario, supongamos que se tiene una sociedad para la cual las reglas de matrimonio y las aplicaciones f y g toman la siguiente forma:

Una breve inspección de esta tabla pone de manifiesto que la órbita del elemento M₁ se reduce a M₁ y M₂, de modo que en este caso el subgrupo generado por f y g no es transitivo. Por otra parte, no es difícil apreciar que en este caso las reglas de matrimonio están establecidas de modo que los clanes C₁ y C₂ nunca se mezclan con C₃ y C₄. Generalizando el resultado que se ha presentado informalmente con estos dos ejemplos, puede llegarse a la siguiente conclusión:

Proposición 1: Una sociedad formada por n clanes es irreducible si y solo si el subgrupo de S_n generado por f y g es transitivo.

Así las cosas, el problema de determinar si una sociedad dada es irreducible ha quedado reducido al problema de determinar qué subgrupos cíclicos de S_n son transitivos, y qué productos directos de dos subgrupos cíclicos de S_n son transitivos, aspecto que la teoría de grupos ha estudiado ampliamente. Una primera observación muy sencilla es que un subgrupo H de S_n solo puede ser transitivo si tiene, al menos, n elementos. En efecto, supongamos que hubiera menos, {h₁…h_m} con m<n. En este caso, los posibles matrimonios conectados con M₁ serían h₁(M₁),… h_m(M₁). En el mejor de los casos, estos serán m matrimonios M_i distintos, pero nunca serán todos los n posibles, pues m<n. En los ejemplos analizados, puede observarse que en el caso del sistema de intercambios generalizados, el subgrupo de S₄ generado por f y g tiene cuatro elementos: {i, g, g², g³}. En cambio, el ejemplo de la sociedad reducible corresponde a un subgrupo de S₄ con únicamente dos elementos, {i,f}, pues f² = g = i.

La tribu de los murngin
Una vez desarrollada la teoría, cuando demuestra realmente su utilidad es al aplicarla a casos complejos. Este es el caso de la tribu de los murngin, una tribu Australiana estudiada en cierta profundidad por varios antropólogos de campo. Esta tribu está dividida en dos secciones, {1,2}, cada una de las cuales se compone de cuatro clanes, {A, B, C, D}. La dificultad surge porque en esta tribu existen dos fórmulas alternativas para establecer el matrimonio: una que opera en el interior de cada una de las secciones, y la otra que opera entre las dos secciones:

Por otro lado, en cualquiera de los dos casos la madre determina la clase de sus hijos de acuerdo a la siguiente tabla:

Conjunto de reglas que, como se puede apreciar, cuentan ya con una cierta complejidad que hace difícil analizarlas sin una metodología adecuada. De hecho, esta sociedad es la que motivó el comentario del antropólogo Elki reseñada en la introducción, quien no encontró otra solución que considerar la sociedad de los murngin como carente de cualquier tipo de estructrura.
Al existir ocho clases con dos posibles conjuntos de reglas de matrimonio, existen dieciséis posibles reglas de matrimonio. Como en casos anteriores, éstas se podrían tratar simplemente numerándolas del 1 al 16, pero para facilitar el tratamiento Wiel desarrolló una nomenclatura en base a un número de cuatro cifras en código binario (que por tanto recorre todos los casos posibles, pues 2⁴=16), con la siguiente definición:

a: 0 si la clase es A o B, y 1 si es C o D
b: 0: si la clase es A o C, y 1 si es B o D
c: 0 si la sección es 1, y 1 si la sección es 2
d: 0 si se emplea la fórmula de matrimonio dentro de la misma sección, y 1 si se emplea la fórmula entre secciones

Con esta nomenclatura, y empleando las tres hipótesis de las sociedades elementales descritas anteriormente, Weil llegó a deducir la forma de las las aplicaciones f y g:

En la que se puede comprobar que f²=g², lo que implica que el grupo generado por f y g no tiene dieciséis elementos, sino solo ocho: {i,f,f²,f³,g,fg,f²g,f_³g}, lo que según lo expuesto en la sección anterior implica que este grupo es reducible, conclusión que en este caso en modo alguno era evidente con una simple inspección de las reglas de matrimonio. De hecho, mediante análisis del grupo generado por f y g se puede llegar a determinar la composición de las dos subpoblaciones que se derivan de estas reglas, que son:

Comentarios finales
En su época, el trabajo de Lévi-Strauss y Weil fue ciertamente innovador. Tras él, y en aquellos primeros años de entusiasmo por los enfoques estructuralistas, hubo algunos intentos de continuarlo y ampliarlo. El propio Lévi-Strauss aplicaría posteriormente conceptos similares a su estudio de los elementos estructurales de los mitos en diferentes culturas. Sin embargo, estos intentos no tuvieron continuidad y puede decirse que la teoría de Lévi-Strauss y Weil no ha llevado a ningún resultado duradero [5]. En la actualidad, predominan los enfoques intuicionistas de antropólogos como Geertz [1], que critican fuertemente los postulados de Lévi-Strauss de primar la búsqueda de razones estructurales, ocultas incluso para los miembros de la misma cultura sobre los que operan, pues consideran que el único conocimiento accesible al antropólogo se reduce precisamente a tratar de entender y asumir las interpretaciones de los sujetos a su propia cultura, ya que cualquier intento del antropólogo por dar una causa externa y ajena a estas interpretaciones internas estará necesariamente contaminado por los presupuestos de su propia cultura.

Posiblemente tampoco contribuya a la popularidad del trabajo de Lévi-Strauss y Weil el hecho de que aúna conocimientos relativamente especializados de dos disciplinas, de modo que las personas cualificadas en ambas son relativamente escasas, y lo son aún más las que estando cualificadas en al menos una de ellas, consideran los aportes de la otra de suficiente interés como para dedicarles sus esfuerzos. Desde el campo de los matemáticos, puede tomarse como ejemplo de esta falta de interés hacia la antropología la reacción de Hadamard descrita al comienzo de este texto, mientras que desde el campo de los antropólogos pueden citarse opiniones como la de Francis Korn, doctora en Antropología por la Universidad de Oxford [6]: “cuando [Lévi-Strauss] baja de las nubes y trata de casos específicos es a menudo trivial o está simplemente equivocado”. “Acerca de este tipo de tratamiento algebraico de los datos Leach agrega que el 99,9% de los antropólogos no podría leerlos presentados en este lenguaje” (¿lo que debería achacarse al tratamiento de los datos, o a la deficiente formación de dichos antropólogos?). “Las fórmulas que propone Weil llevan a que alguien que maneje el lenguaje de las permutaciones llegue a saber por ese medio lo que un etnógrafo informa sin problemas con solo hacer una serie de preguntas al llegar al campo” (argumento por el que bien podríamos desembarazarnos de todas nuestras teorías científicas formales, pues ninguna teoría correcta proporcionará ninguna información que no pueda obtenerse con un experimento bien planteado, y además el resultado de tal experimento siempre será más incontrovertible que el de cualquier teoría). Acudiendo al fondo que quizá subyace a estos comentarios de la Dra. Korn, resulta evidente que ninguna teoría matemática podrá captar completamente un fenómeno humano tan complejo como las relaciones de matrimonio, pues por muy cuidadosamente que se establezcan las leyes que las rigen en una sociedad dada, siempre habrá excepciones, y también individos que directamente se negarán a acatarlas, y además cualquier sistema de reglas humano es dinámico y cambia con el tiempo. Pretender que se puede dar un tratamiento matemático exacto de estas cuestiones supone un reduccionismo que no está justificado, pero también es injustificable sostener que puesto que un tratamiento matemático no puede proporcionar una descripción completa del problema humano estudiado, dicho tratamiento es por completo inútil. Ninguna teoría matemática de ninguna disciplina, ni siquiera en las ciencias físicas más “duras”, describe por completo los fenómenos, pero eso no las vuelve inútiles; en algunos casos, la simplificación a un caso “ideal” es incluso valiosa en sí misma porque permite identificar más claramente los efectos de las “perturbaciones” que no están incluidas en la teoría.
En todo caso, en nuestra época, en la que al tiempo que se tiende a una creciente especialización en las áreas, el término “interdisciplinariedad” es un mantra inevitable en cualquier ambiente académico y de investigación, el trabajo de Lévi-Strauss y Weil es al menos un testimonio de que, debidamente ejecutada, la interdisciplinariedad puede en efecto llevar a resultados únicos.

Referencias
[1] C. P. Kottak, “Antropología Cultural”, 14ª Edición. McGraw-Hill, 2011
[2] C. Lévi-Strauss, “Las Estructuras Elementales del Parentesco, Volumen 1 y 2”. Planeta-De Agostini, 1993.
[3] A. P. Elkin, “Native Languages and the Field Worker in Australia”, American Antropologist 43 (1941) 91.
[4] J. Fresán, “Hasta que el álgebra os separe”, RBA Contenidos Editoriales y Audiovisuales, 2012.
[5] J. V. Rauff, “The algebra of marriage: an episode in applied group theory”. Journal of the British Society for the History of Matemathics “ 31 (2016) 230-244
[6] F. Korn, “Estatus científico del estructuralismo en antropología”, Comunicación efectuada por la Académica Titular Dra. Francis Korn en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires en la sesión plenaria del 31 de agosto de 2009.