Con estos planteamientos, puede objetarse que la teoría frecuentista no dice gran cosa respecto de la naturaleza de la probabilidad, salvo que es una propiedad vinculada de algún modo a la realidad física de las cosas, cuyo elemento característico es que se manifiesta en grandes colectivos. Desde la perspectiva empirista de von Mises, esta limitación no constituye un problema importante, pues en definitiva supone tratar el concepto de «probabilidad» como la noción primitiva, no definible, de la teoría de la probabilidad, del mismo modo que «punto» o «fuerza» serían nociones primitivas en geometría y mecánica clásica.
Se ha objetado también la inconsistencia que supone pretender dotar a la teoría de la probabilidad del estatus de una teoría física empírica mediante una definición operativa, cuando esta definición descansa en secuencias infinitas y en la noción de límite, irrealizables en la práctica, pero, como se ha visto, von Mises, aun reconociendo esta contradicción, no la considera más limitante que las aproximaciones equivalentes que se hacen en muchas otras ciencias físicas; argumento que, aunque no satisfará a los lógicos más puristas, no se puede negar que está dotado de una gran fuerza pragmática.
Se ha argüído también que, aunque la teoría frecuentista reposa en axiomas que parecen intuitivamente claros, como la Ley de la Estabilidad de las Frecuencias y la Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas, algunas de sus consecuencias distan de ser tan aceptables para la intuición. Un ejemplo, cuya formulación se debe a Popper (Gillies, 2000), aborda la descripción del mecanismo de aprendizaje a partir de la experiencia empírica que se deriva de la teoría frecuentista. El ejemplo plantea el escenario de que un día, por algún motivo desconocido, el sol no saliera. Puesto que desde los albores de la humanidad el sol ha salido todos y cada uno de los días, que dejara de hacerlo un día prácticamente no afectaría, para von Mises, a la probabilidad (o, más bien, casi certeza) de que volviera a hacerlo al día siguiente: sería un único fallo en una secuencia enorme de aciertos. Pero parece difícil admitir que cualquiera pudiese estar verdaderamente tan seguro de que el sol volvería a salir al día siguiente de no hacerlo por primera vez, lo que ilustra que la probabilidad no se determina únicamente a partir de observaciones empíricas, sino que también tienen un papel otros factores, aunque solo sea la cruda noción de causalidad que declara que si el sol no ha salido, ha de deberse a algún motivo, que seguirá operando, de no revertirse. Se podría argumentar que este ejemplo que propone Popper quizá no sea, según los postulados de von Mises, probabilístico, puesto que no parece cumplir los requisitos de aleatoriedad de la Ley de Exclusión de los Sistemas de Apuestas, pero resolver los problemas de una teoría mediante la vía de la exclusión de los casos problemáticos constituye una práctica potencialmente peligrosa que debe aplicarse con mucha cautela.
Esta dificultad a la hora de tratar un evento excepcional como la ruptura de la hasta hoy inviolable ley de que el sol sale todas las mañanas, lleva a otra objeción de aún más calado, que es la que señala que la teoría frecuentista restringe excesivamente el campo de aplicación de la teoría de la probabilidad. En efecto, en él solo caben los problemas que se pueden formular en términos de colectivos en los que se puedan determinar experimentalmente las frecuencias de los atributos. Aunque, para von Mises, esto no es en modo alguno una limitación de la teoría frecuentista, sino una de sus grandes fortalezas:
“La probabilidad de ganar una batalla”, por ejemplo, no tiene lugar en nuestra teoría de la probabilidad, ya que no podemos imaginar un colectivo al que pertenezca. La teoría de la probabilidad no se puede aplicar a este problema más de lo que el concepto físico de trabajo puede aplicarse al “trabajo” realizado por un autor al recitar su papel en una obra de teatro.
von Mises, 1957
Es decir, del mismo modo que al delimitar rigurosamente el término «trabajo», dejando fuera en el proceso algunas de las acepciones del impreciso lenguaje ordinario, se llega a un concepto enormemente productivo en la física y la termodinámica, una definición apropiada y operativa de la probabilidad como la de la teoría frecuentista no supone una limitación, sino una vía para el desarrollo de la ciencia de las probabilidades, al tiempo que una forma de desembarazarse de las contradicciones e imprecisiones que aquejan a teorías previas y peor adaptadas a los estándares científicos como la de Keynes.
Esta respuesta sería plenamente satisfactoria si la delimitación frecuentista del concepto de probabilidad efectivamente cubriera las aplicaciones de interés, pero para algunos autores, como Popper, este no es el caso, ya que la definición frecuentista excluye una importante familia de sistemas, ya anticipada por el ejemplo del hipotético día en el que el sol no sale: la de los eventos únicos (Gillies, 2020).
Consideremos para ilustrar esta limitación el problema de la desintegración de un único átomo radioactivo. Para la teoría frecuentista, este proceso, que involucra a un único individuo y no a un colectivo, no es probabilístico, pese a lo que pueda decir la mecánica cuántica al respecto. Puede alegarse que esta dificultad es solo aparente, pues en este caso se considera implícitamente a ese único átomo radioactivo como un miembro del colectivo formado por todos los otros átomos del mismo elemento. Así, a partir de la observación empírica de las frecuencias de descomposición en subconjuntos de ese colectivo, pueden obtenerse, según la teoría frecuentista, conclusiones válidas respecto de la probabilidad de descomposición del átomo individual en cuestión.
Esta solución toma mucha de su verosimilitud del hecho de que los átomos que forman el colectivo son esencialmente indistinguibles (salvo en aspectos como su ubicación, que en principio y en ausencia de otras causas externas que dependan de la ubicación, no tienen influencia sobre el proceso de descomposición radioactiva). Las situaciones en las que no se da esta regularidad son, en cambio, más problemáticas. Considérese, por ejemplo, la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda recién acuñada, que no ha sido sometida por tanto a ninguna secuencia de lanzamientos. Lanzar una moneda una sola vez no es de nuevo para la teoría frecuentista un evento probabilístico, pero parece razonable suponer que un partidario de la teoría frecuentista tendería de todos modos a asignar ½ a esta probabilidad, asignación que podría justificarse incluyendo el lanzamiento de la nueva moneda en el colectivo constituido por todos los lanzamientos realizados con otras monedas. Mientras que no parece haber motivos razonables para distinguir un átomo radiactivo de otro, puede admitirse que quizá la moneda recién acuñada tenga alguna característica individual que la aleje en mayor o menor medida de ese colectivo formado por las restantes monedas, que podría determinarse sometiéndola a una serie de lanzamientos, pero en ausencia de esa información o de alguna otra razón en contra de la inclusión de la nueva moneda en el colectivo (es decir, aplicando un razonamiento que en lo esencial es equivalente al «principio de razón no suficiente» que alimenta el Principio de Indiferencia), resulta desde la teoría frecuentista razonable hacer este tratamiento de la nueva moneda.
La situación se vuelve más problemática a medida que la incorporación del individuo en un colectivo, incorporación que necesariamente ha de basarse en la ausencia de motivos de peso para considerarlo diferente de los otros miembros, se vuelve más inverosímil, lo que trae a la memoria y da nuevo valor a la observación de Keynes de que la cuantificación de las probabilidades descansa en juicios de irrelevancia. Considérese así, en tercer lugar, la probabilidad de que un individuo concreto, el Sr. Martín, fallezca durante el próximo año: de nuevo, este evento único no es, para la teoría frecuentista, probabilístico, pero puesto que el Sr. Martín tiene 44 años, una compañía de seguros (que recordemos que von Mises cita explícitamente en su crítica a Keynes como una de las aplicaciones «más importantes en la práctica») podría obtener algunas conclusiones válidas analizando, por ejemplo, la frecuencia de fallecimientos de los varones españoles de edades comprendidas entre 40 y 50 años.
Sin embargo, esta no sería la única forma en que la compañía de seguros podría tomar una decisión. Basándose en su experiencia, la compañía podría considerar que, más allá de su edad, para analizar la probabilidad de fallecimiento del Sr. Martín resulta más relevante saber que no es fumador, o que lleva un estilo de vida sedentario. Podría, por lo tanto, analizar estos dos nuevos colectivos, que llevarían presumiblemente a estimaciones de la probabilidad diferentes. Para elegir entre ellas, y muchas otras que podrían plantearse, se puede alegar que, para los propósitos de la compañía de seguros, el Sr. Martín encaja mejor en alguno de estos colectivos que en los otros; se llega así a los abundantes intentos de formular la teoría frecuentista en términos del colectivo más apropiado, o «clase de referencia», que resultan difíciles y han alcanzado un éxito limitado (Suárez, 2020). Se puede de hecho anticipar que estos esfuerzos están condenados al fracaso, pues si, en el límite, se recogen todos los condicionantes que afectan al posible fallecimiento del Sr. Martín para determinar su mejor clase de referencia, se acabará llegando a un colectivo formado por un único individuo, el propio Sr. Martín, y por lo tanto ya no se podrá seguir hablando, según la teoría frecuentista, de probabilidades. Además, esta dificultad de índole práctico esconde otra aún más problemática de tipo conceptual: von Mises pretende articular una teoría empírica en la que la probabilidad es una propiedad asociada al mundo material, pero del análisis de este último ejemplo se deriva la consecuencia paradójica de que esta propiedad material, objetiva, no está individualmente vinculada al Sr. Martín, ni al Sr. López, ni al Sr. Gómez, pero aparece de alguna forma misteriosa cuando se toma al Sr. Martín junto con el Sr. López, el Sr. Gómez y un número indeterminado, pero suficientemente grande, de otros varones españoles de entre 40 y 50 años, y vuelve a aparecer, pero de un modo diferente, cuando se toma al Sr. Martín junto con otro número suficientemente grande de individuos no fumadores.
Más allá de estos ejemplos concretos, siguiendo a Appleby (2005) se puede argumentar que, pese a estar aparentemente construida sobre conjuntos, la teoría frecuentista en realidad descansa sobre supuestos como la reproducibilidad y la independencia entre eventos, que solo tienen sentido cuando se considera cada uno de los eventos únicos que constituyen el conjunto. Así, si se quiere emplear la teoría de la probabilidad para hacer predicciones, para poder decir algo acerca de lo que va a ocurrir en el siguiente lanzamiento de la moneda, cuestiones que para von Mises supondrían los usos «más importantes en la práctica» de la teoría, se ha de hacer frente a eventos que son siempre únicos: el próximo lanzamiento de la moneda se realizará una única vez, y la teoría frecuentista no proporciona métodos para discernir si ese nuevo lanzamiento se puede incluir legítimamente en el colectivo formado por los anteriores, o si por el contrario las condiciones han cambiado; si la moneda, por ejemplo, se ha desgastado. Para poder resolver este dilema y dar respuestas, la teoría frecuentista ha de introducir tentativamente el nuevo evento único en un colectivo formado por eventos anteriores, y para ello ha de invocar, aunque sea implícitamente, el «principio de razón no suficiente» y los juicios de irrelevancia en los que, según Keynes, consiste el Principio de Indiferencia, y argumentar que en ausencia de razones de peso para pensar lo contrario, el nuevo evento ha de considerarse indistinguible de los anteriores.
Referencias
Appleby, D. M. (2005), Probabilities Are Single-Case or Nothing. Optics and Spectroscopy, vol. 99, No. 3, pp. 447-456.
Gillies, D. (2000), Philosophical theories of probability. Abingdon: Tylor & Francis Group.
Suárez, M. (2020), Philosophy of Probability and Statistical Modelling, en Northcott, R. y Stegenga, J., eds., Elements in the Philosophy of Science. Cambridge: Cambridge University Press
Von Mises, R. (1957), Probability, Statistics and Truth. Londres: George Allen & Unwin Ltd. Reeditado por Dover Publications, Inc. (2019)
Esta entrada forma parte de De Keynes a Ramsey: el desarrollo de la teoría subjetiva de la probabilidad.