Los campos de aplicación de los sistemas de control automático son muy amplios. Cualquier factoría moderna en sectores como la industria química, energética o del petróleo estará sin duda dotada de cientos o miles de lazos de control automático, e innumerables artículos de consumo (vehículos, calentadores de agua, dispositivos electrónicos, juguetes…) también constan de sistemas de control automático [1].
En su concepción más simple, un lazo de control automático por retroalimentación se corresponde con lo ilustrado en la figura 1. El sistema consta de un sensor que mide un determinado parámetro del sistema (por ejemplo, la temperatura). A continuación, el controlador compara esta medida con el valor deseado para esta variable (su “valor de consigna”), y en función de la diferencia entre valor de consigna y valor medido (es decir, del “error”), calcula una acción correctora que finalmente aplica (por ejemplo, encender o apagar una resistencia eléctrica)
Figura 1: Un lazo de control automático simple
En los controladores automáticos más simples, la acción de control se selecciona aplicando un método empírico simple según el que se establece una relación funcional directa entre el error e y la acción de control y:
y = f(e)
Los controladores de tipo PID (Proporcional/Integral/Derivativo), que se encuentran entre los más utilizados, pertenecen a esta categoría, al calcular la acción de control a partir de una combinación del error, su integral y su derivada:
y = Kp·e+Ki·∫e·dt + Kd·de/dt
Donde Kp, Ki y Kd son constantes establecidas por el operador del controlador. Este tipo de controladores tiene la ventaja de una estructura matemática simple, que permite un estudio detallado de la estabilidad y el rendimiento del controlador y de la forma óptima de ajuste de estas tres constantes [2].
Sin embargo, este tipo de controladores muestra limitaciones en su rendimiento cuando la dinámica del proceso que se debe controlar es compleja. Empleando la analogía propuesta por algunos autores, estas limitaciones se deben a que su empleo es similar a tratar de conducir un vehículo mirando únicamente por el espejo retrovisor: un controlador de tipo PID sólo toma acciones correctoras (“mover el volante”) cuando el error comienza a crecer (“el coche ya se está saliendo en una curva”). Para mejorar el rendimiento del controlador, es necesario crear un controlador que se “anticipe a las curvas”: que disponga de una representación del proceso que está controlando que le permita anticiparse a los desvíos en los valores de las variables desde los de sus consignas y que tome acciones correctoras que prevengan estos desvíos. Este tipo de controladores son los denominados controladores basados en modelos o controladores “predictivos” [3].
Si bien el concepto de controlador predictivo es muy potente, en la práctica presenta limitaciones, debido que a medida que la complejidad del proceso que se desea controlar se incrementa, el desarrollo de un modelo apropiado para su uso por el controlador se hace más costoso y su misma aplicación puede llegar a volverse inviable por su complejidad computacional. Por este motivo, se hace necesario disponer de formas alternativas de tratar este tipo de sistemas complejos.
La aplicación de la “lógica borrosa” a la modelización de sistemas complejos
Cuando se considera un sistema complejo (como, por ejemplo, una factoría industrial completa), un criterio de calidad válido para su sistema de control puede venir dado por el desempeño de un operador humano experto y formado en el proceso que está controlando. Sin embargo, cuando se trata de formalizar el procedimiento mediante el que un operador humano realiza su labor de control del proceso, surge rápidamente la dificultad de que, habitualmente, dicho operador sólo puede expresar sus decisiones en términos semicuantitativos (“la temperatura es media”, “la velocidad es muy alta”…), y a la hora de justificar dichas decisiones debe acudir a una combinación de criterios cuantitativos que se derivan de su conocimiento formal del proceso, junto con otros semicuantitativos o cualitativos que se apoyan en la experiencia [4].
Incorporar este tipo de conocimiento en un controlador clásico es difícil, porque como ilustra la ecuación 1, en general este tipo de controlador sólo puede manejar información expresada en forma de valores numéricos bien especificados. Debido a este carácter rígidamente cuantitativo, un controlador predictivo convencional necesita un modelo también cuantitativo y tan preciso como sea posible del proceso que se está controlando. Debido a este carácter cuantitativo y al posible peso de pequeñas variaciones en algunos parámetros del modelo en el rendimiento del controlador, este tipo de controladores necesitan de una labor continua y costosa de reajuste del modelo y de sus parámetros a los pequeños cambios en el comportamiento del proceso real que pueden darse a lo largo del tiempo.
En este sentido, el diseño de sistemas de control basados en la “lógica borrosa” (fuzzy) o teoría de los conjuntos borrosos es un enfoque más pragmático, porque hace uso de la caracterización lingüística del proceso, la cual puede adaptarse más fácilmente a pequeñas variaciones en su comportamiento que un modelo complejo basado en razonamientos físico-químicos rigurosos.
El desarrollo de la teoría de control basada en lógica borrosa puede remontarse al trabajo original en el que Zadeh estableció las bases de la teoría de conjuntos borrosos [5]. Tras este trabajo seminal, la aplicación de esta teoría al control de procesos rápidamente se estableció como uno de sus usos prácticos más importantes y exitosos, debiéndose su primera aplicación real al diseño del sistema de control de un ciclo de potencia de vapor por Mamdani y Assilian [6]. Durante los 80, se dio un rápido desarrollo de esta aplicación, en lo que algunos autores han dado en denominar el “fuzzy-boom”, promovida por el rápido desarrollo de la computación y la electrónica, que permitió incorporar este tipo de sistemas de control en toda clase de sistemas, tanto industriales como de bienes de consumo. En la actualidad, estos controladores están firmemente establecidos y pueden adquirirse a bajo coste para un amplio rango de aplicaciones y condiciones, considerándose habitualmente dos situaciones en las que su uso es ventajoso frente a los controladores convencionales:
- Control de procesos en los que se conoce que su comportamiento es fuertemente no-lineal, y por tanto difícil de manejar por controladores sencillos, o procesos mal caracterizados, o, en general, procesos en los que disponer de un modelo matemático cuantitativo es inviable por su complejidad o por su coste.
- Situaciones en las que interesa hacer uso de la experiencia acumulada por operadores humanos, la cual está generalmente expresada en términos lingüísticos.
Elementos de un controlador basado en lógica borrosa
Los conceptos de la teoría de los conjuntos borrosos se pueden aplicar para la modelización y control de procesos de diferentes formas [7]. De ellas, la más común, y la cubierta en este trabajo, es la de los denominados sistemas de Mamdani, que se basan en un conjunto de reglas formuladas en términos de lógica borrosa.
Como se ilustra en la Figura 2, este tipo de controladores tienen como elemento principal el módulo de inferencia, el cual utiliza el conjunto de reglas del controlador para calcular una respuesta en función del conjunto de entradas de información (por ejemplo, medidas) disponibles para el controlador, según diferentes métodos alternativos que se describen en las siguientes secciones. Este cálculo se realiza en términos de lógica borrosa, es decir, toma las entradas formuladas en términos de conjuntos borrosos y proporciona su salida en esta misma formulación.
Sin embargo, muchos sistemas reales deben manejar variables definidas en términos numéricos precisos, y no en términos de variables lingüísticas o de conjuntos borrosos. En el ejemplo de la figura 1, este sería el caso de la variable de entrada numérica “temperatura” y de la de salida “potencia de la resistencia”, que son ambas variables numéricas que toman un valor concreto. En estos casos, a este elemento central se le deben agregar dos elementos de conversión de las variables numéricas en variables borrosas, o elementos de “fuzzificación” y “de-fuzzificación”, como se muestra en la Figura 2.
Figura 2: Elementos de un controlador borroso
Controladores basados en modelos lingüísticos
Las reglas de un controlador basado en un modelo lingüístico tienen la forma general:
Si x es A entonces y es B
Donde x e y son variables lingüísticas definidas en términos de conjuntos borrosos, mientras que A y B son términos lingüísticos constantes que proporcionan significado a las variables borrosas, del tipo de “la temperatura es baja” o “la presión es alta”.
Como estos términos A y B definen ciertos puntos de referencia para las variables x e y, usualmente se denominan “conjuntos borrosos de referencia”. Las funciones de pertenencia para estos conjuntos de referencia deben estar definidas en base a un conjunto de términos Ai definidos para cada una de las variables lingüísticas. La familia de estos conjuntos borrosos, {A1,A2…Am} se denomina “partición borrosa” de la variable, de modo que el número de términos lingüísticos Ai incluidos en la partición, denominado “granularidad” del modelo, está relacionado con el nivel de precisión del modelo. El conjunto de reglas junto con las particiones de las variables implicadas constituyen la “base de conocimiento” del controlador. El controlador emplea este conjunto de reglas definidas sobre las particiones correspondientes para calcular las salidas y en función de las entradas x; si las entradas o las salidas deben estar expresadas en términos de valores numéricos, se emplean los correspondientes elementos de fuzzificación – defuzzificación tal y como ilustra la figura 2.
Controladores basados en modelos relacionales
En los controladores basados en modelos relacionales, la entrada expresada en término de conjuntos borrosos Ai se relaciona con la salida Bi mediante una relación borrosa.
Para describir este sistema, considérese un sistema sencillo con una única entrada x ∈ X y una salida y ∈ Y, de forma que sobre X se ha definido una partición en una familia de conjuntos borrosos A y sobre Y una partición en una familia B:
A = {A1, A2…AM}
B = {B1, B2…BN}
En estas condiciones, una relación borrosa R = [rij]MxN define una aplicación entre las familias A y B, R: A → B, de modo que a cada Ai se le asigna un subconjunto de elementos de B, cada uno de ellos con un determinado peso rij.
Así, para un valor numérico dado x de la variable de entrada, la pertenencia de esta variable a cada uno de los elementos de la familia A viene dado por X = {mA1(x), mA2(x)…mAM(x)}, y la salida correspondiente Y = {m1, m2…mN} se calcula mediante Y = X ° R.
Los controladores basados en modelos relacionales pueden considerarse como una generalización de los basados en modelos lingüísticos, ya que proporcionan una mayor flexibilidad en la configuración de la salida del controlador. Así, en un modelo lingüístico, las salidas están restringidas a los centroides de los conjuntos borrosos de referencia: es decir, si se verifica una condición dada “Si x es Ai entonces y es Bi”, entonces la salida del controlador se corresponde con el centroide de Bi. En cambio, en un controlador basado en un modelo relacional, la relación se define sobre toda la familia B, asignando a cada conjunto Bi de esta familia un peso dado por el término rij correspondiente, lo que posibilita que la salida del controlador sea cualquier punto del dominio Y sobre el que se ha definido la partición B. Como contrapartida a esta mayor flexibilidad, es evidente que el número de parámetros requerido para aplicar un modelo relacional es mayor que en el caso de un modelo lingüístico, puesto que debe definirse completamente la relación R.
Controladores basados en modelo de Takagi-Sugeno
En los controladores propuestos por Takagi y Sugeno [8], mientras que las variables de entrada se especifican en términos de conjuntos borrosos definidos sobre el espacio de la variable de entrada X, la salida del controlador se especifica mediante una función de variable real definida sobre el espacio de la variable de salida Y:
Si x es Ai entonces yi = fi(x)
Habitualmente, se emplean funciones fi lineales, fi = ai·x+bi, y puesto que x puede pertenecer a diferentes conjuntos de la partición A con diferentes grados de pertenencia mAi, la salida global del controlador se calcula promediando sobre estas salidas:
Puede apreciarse además que si se toma ai = 0, los modelos de Takagi-Sugeno son equivalentes a los modelos lingüísticos.
Controladores borrosos adaptativos
Como se ha descrito anteriormente, una de las ventajas de los controladores borrosos sobre otras metodologías de control es la posibilidad de adaptar la configuración del controlador a cambios en las propiedades del sistema que se está controlando o a nuevos requisitos de control, de una forma sencilla y segura (en términos de la estabilidad y rendimiento del controlador). Esto se consigue añadiendo un nuevo elemento a la estructura general del controlador mostrada en la Figura 2: un sistema de supervisión, que se encarga de gestionar las variaciones de los parámetros, y que por ejemplo puede tomar la forma de un algoritmo de optimización multivariable.
Los controladores borrosos proporcionan diversas formas de adaptación de su rendimiento:
1 – Adaptación del tamaño de las funciones de pertenencia de los conjuntos de referencia A y B, por ejemplo tal y como se ilustra en la figura 3 para el caso de funciones de pertenencia de forma triangular.
2 – Adaptación de la posición de las funciones de pertenencia, que en general se realiza de forma que haya una partición más fina (con mayor densidad de funciones de pertenencia) en las regiones de X e Y de mayor importancia para el comportamiento del sistema.
Figura 3: Adaptación en el tamaño de las funciones de pertenencia
3 – Adaptación de la base de reglas: por ejemplo, cambiando el peso de las diferentes reglas en la relación R de los controladores basados en modelos relacionales
Algunas aplicaciones prácticas
En la literatura se pueden encontrar numerosos ejemplos de aplicaciones prácticas de sistemas con controladores borrosos. Así, Babuska y Verbruggen [7] describen varias aplicaciones:
- Los modelos de Takagi-Sugeno se usan frecuentemente para desarrollar modelos empíricos de sistemas complejos y fuertemente no-lineales, y para controlar estos procesos, a partir de la correlación de datos experimentales proporcionados por el sistema. Algunos ejemplos son el control de una planta de incineración, la modelización y el control de una planta de procesado de acero o la modelización del flujo de un río.
- Los modelos lingüísticos son muy útiles para desarrollar sistemas de control basados en la experiencia de operadores humanos. Así, estos modelos se han empleado para desarrollar sistemas de control de plantas químicas, o para modelizar y controlar sistemas de perforación en minas, casos en los que la información experimental cuantitativa era muy limitada de forma que los modelos debían basarse casi exclusivamente en las indicaciones proporcionadas por operadores humanos. También se han desarrollado aplicaciones más cuantitativas de estos modelos, como la determinación de la velocidad de degradación enzimática de la penicilina en el organismo.
- Los controladores adaptativos se han utilizado en aplicaciones médicas, como el desarrollo de controladores para sistemas de ventilación asistida de pacientes con problemas respiratorios.
Lecturas recomendadas
[1] P. Ollero, E.F. Camacho. “Control e Instrumentación de Procesos Químicos”. Ed. Síntesis, 1997.
[2] K. Ogata, “Ingeniería de Control Moderna”, 5ª Ed. Pearson, 2010.
[3] E.F. Camacho, C. Bordons. “Model Predictive Control”, Springer Verlag, 1999.
[4] R. E. Precup, H. Hellendoorn. “A survey on industrial applications of fuzzy control”. Computers in Industry, 62 (2011) 213-226.
[5] L. A. Zadeh. “Fuzzy sets”. Information and control 8 (1965) 335-353.
[6] E. H. Mamdani, S. Assilian. “An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller”. International Journal of Man-Machine Studies 7 (1975) 1-13.
[7] R. Babuska, H B. Verbruggen. “An overview of fuzzy modeling for control”. Control Engineering Practice 4 (1996) 1593-1606.
[8] T. Takagi, M. Sugeno. “Fuzzy identification of systems ant its application to modeling and control”. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 15 (1985) 116-132.